∂u(x, y) |
= − |
2xy |
|
||
∂y |
|
|
|
||
(x2 + y2 )2 |
|||||
∂v(x, y) |
|
|
2xy |
|
|
= |
|
|
|||
∂x |
(x2 + y2 )2 |
|
|
||
∂u(x, y) = − ∂v(x, y).
∂y ∂x
Условия выполнены. Функция f (z)= 1z является дифференци-
руемой (z ≠ 0).
§ 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФКП
Введем понятие аналитической функции.
Функция f (z) однозначная и дифференцируемая в каждой точ-
ке области D называется аналитической (иначе, регулярной или голоморфной) в этой области.
Функция f (z) называется аналитической в конечной точке z ,
если она является аналитической в некоторой окрестности точки z . Точки плоскости z , в которых функция f (z) не является анали-
тической, называются особыми точками этой функции.
Примеры
w = ez – аналитическая во всей плоскости; w = z – нигде не аналитична.
Убедиться в этом предоставляем читателю.
Дифференциалом df (z) аналитической функции f (z) в конеч-
ной точке z называется главная линейная по отношению к ∆z часть приращения ∆w этой функции:
df (z)= f ′(z)dz.
Выясним теперь, любая ли функция двух переменных x и y
может служить действительной или мнимой частью некоторой аналитической функции. Пусть дана функция f (z)= u(x, y)+iv(x, y)
19
аналитическая в некоторой области D. Следовательно, везде в D выполнены условия Коши–Римана:
∂u |
= |
∂v |
; |
∂u |
= − |
∂v . |
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
∂x |
Дифференцируем эти равенства соответственно по х и по у:
|
∂2u |
= |
∂2v |
; |
|
∂2u |
= − |
∂2v |
, |
|
|||||
|
∂x2 |
∂y∂x |
|
∂y2 |
∂x∂y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
так как |
|
|
|
|
∂2v |
= |
∂2v |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то |
∂2u |
= − |
∂2u |
|
|
и |
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 . |
|||||
∂x2 |
∂y2 |
|
|
∂x2 |
∂y2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично получаем, что
∂2v + ∂2v = 0. ∂x2 ∂y2
Видим, что функции u и v должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемому уравнением Лапласа:
∆u = ∂2u + ∂2u = 0. ∂x2 ∂y2
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется
гармонической функцией. Из изложенного следует, что действи-
тельная и мнимая части аналитической функции являются гармо-
ническими функциями.
Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши– Римана, называются взаимно сопряженными.
Пусть u(x, y) – гармоническая функция. Построим аналитическую функцию f (z) = u(x, y) +iv(x, y) .
20
На основании условий Коши–Римана |
∂u |
= ∂v |
. Отсюда v = ∫∂udy +ϕ(x). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
∂v |
|
∂u |
|
∂ |
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
Т.к. |
∂x |
= − |
∂y |
, то |
|
|
∫ |
∂x |
dy + ϕ'(x) = − |
∂y |
. Тогда ϕ'(x) = g(x) |
||
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||
и ϕ(x) = ∫g(x)dx +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
Построить |
аналитическую |
функцию, |
для |
которой функция |
|||||||||
u(x, y) = x2 − y2 + 2x является действительной частью (в том, что функция u(x, y) является гармонической функцией, легко убедиться проверкой).
Решение. В силу условий Коши–Римана имеем ∂u |
= ∂v = 2x + 2 . |
|||
|
|
|
∂x |
∂y |
Интегрируя это равенство по |
y , |
получим v(x, y)= ∫(2x + 2)dy = |
||
= 2xy + 2y + ϕ(x). Из равенства ∂v |
= − |
∂u |
получаем ∂v = 2y +ϕ'(x) = 2y. |
|
∂x |
|
∂y |
∂x |
|
Отсюда ϕ'(x)= 0 и ϕ(x) = C , где С – произвольная постоянная.
Тогда гармоническая функция, сопряженная с данной, будет иметь вид
v(x, y)= 2xy + 2y +C.
Искомая аналитическая функция имеет вид
f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)= x2 − y2 + 2x + i(2xy + 2y + C)= |
|
= (x2 + 2ixy − y2 )+ (2x + 2yi)+ iC = |
. |
=(x + iy)2 + 2(x + iy)+ Ci = z2 + 2z + Ci.
§6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АРГУМЕНТА И МОДУЛЯ
ПРОИЗВОДНОЙ |
|
Пусть функция w = f (z) аналитична в D, а z0 D ; |
f '(z0 ) ≠ 0 . |
Функция f (z) отображает точку z0 плоскости Z |
в точку |
w0 = f (z0 ) плоскости W (рис. 4). |
|
21
Рис. 4
Через точку z0 проведем какую-нибудь кривую l , которая отобразится в кривую L плоскости W , проходящую через w0 . На кривой l возьмем произвольную точку Z = z0 + ∆z, которая отобразится в
точку W = w0 + ∆w.
Вводим в рассмотрение углы ϕ и Φ. По определению произ-
водной f ′(z0 )= lim |
∆w . |
∆z→0 |
∆z |
Одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным:
|
f ′(z0 ) |
|
= lim |
|
∆w |
|
= k, |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∆z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∆w |
|
∆z→0 |
|
|
|
|
||
arg f ′(z0 )= lim arg |
|
= lim (arg ∆w −arg ∆z)= Φ −ϕ. |
||||||||
∆z→0 |
∆z |
|
∆z→0 |
|
|
|
|
|
||
(12)
(13)
Отметим, что f '(z0 ) есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками w0 и W к бесконечно малому расстоянию между первоначальными точками z0 и Z . В силу аналитичности функции f (z) в точке z0 предел (12) не зависит от
стремления ∆z к нулю, т.е. от выбора кривой l. Следовательно, предел (12) один и тот же во всех направлениях, выходящих из точ-
ки z0 . По этой причине f '(z0 ) можно рассматривать геометриче-
22
ски как коэффициент растяжения в точке z0 при отображении w = f (z) . При этом если f '(z0 ) >1, то в достаточно малой окрестности точки z0 расстояние между точками при отображении w = f (z) увеличивается и происходит собственно растяжение плоскости, если же f '(z0 ) <1 , то отображение приводит к сжатию.
Из (13) имеем: arg f '(z0 )= α = Ф − ϕ . Отсюда Ф = ϕ + arg f '(z0 ).
Значит, arg f '(z0 ) есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке z0 для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке w0 .
В силу аналитичности f (z) в точке z0 угол поворота α один и тот же для всех кривых l, проходящих через z0 .
Следовательно, аналитическое отображение обладает свойством консерватизма (сохраняемости) углов во всех точках, где
f '(z0 ) ≠ 0 . И отображение w = f (z) обладает свойством постоян-
ства растяжения.
Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0 , осуществляемое аналитической функцией w = f (z) с f '(z0 ) ≠ 0 , обладает в точке z0 свойством сохранения углов и постоянством
растяжений. Такое отображение называется конформным отобра-
жением в точке z0 .
23