Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

454 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Исключая параметры m и g из формул (21.6.25)–(21.6.27), находим важное приближенное соотношение между наблюдаемыми вели- чинами l, x è D:

Поле модуля становится важным в динамике сверхпроводящих вихревых нитей. Они возникают, когда сверхпроводник определенного типа помещается в достаточно сильное магнитное поле, так, чтобы стало энергетически выгодным проникновение в вещество трубок магнитного потока, называемых вихревыми нитями 43. (Условия возникновения вихревых нитей обсуждаются ниже.) Проведя замкнутую кривую С вокруг трубки на расстоянии, много большем глубины проникновения, где магнитное поле обращается в нуль, и повторяя рассуждения, связанные с формулой (26.6.12), видим, что магнитный поток через поверхность A, натянутую на С, должен быть равным изменению j вдоль кривой, а следовательно, равным целому кратному кванта потока p/e, как и для потока че-

рех толстое сверхпроводящее кольцо. Когда этот поток не равен нулю, внутри каждой трубки должна быть линия, вдоль которой электромагнитная калибровочная инвариантность не нарушена. Чтобы увидеть это, заметим, что при стягивании кривой С в область большого магнитного поля условие Ñj = A становится неверным, однако изменение j вдоль кривой должно остаться целым кратным p/e, и поэтому по соображениям непрерывности не может изме-

ниться. Следовательно мы в конце концов столкнемся с нитью (не исключено, что конечной толщины), вдоль которой r обращается в нуль, так что j становится плохо определенной величиной. (Это

элементарный пример топологических рассуждений, которые мы используем далее в гл. 23.) В окрестности этой нити как r, òàê è j

следует принимать в качестве динамических переменных. Квантование магнитного потока показывает, что сверхпро-

водящая вихревая1 нить с минимальным потоком p/e стабильна. Вих-

ревые нити с большими потоками не могут просто исчезнуть, однако отдельно взятый закон квантования магнитного потока не способен предотвратить разрушение этих нитей с превращением в нити меньшего потока. Богомольный 43à показал, что вихревые нити с потоком np/e и n > 1 нестабильны по отношению к развалу на n вихревых нитей с потоком p/e, если и только если l > x.

По этой и другим причинам удобно разделить сверхпроводящие вещества на два класса: сверхпроводники I рода (большинство чистых металлов за исключением ниобия), у которых x > l, и сверхпроводники II рода (ниобий и большинство сплавов), у которых x < l. Соответственно, в электрослабой модели возни-

кает различие между теориями, в которых масса скаляра (аналогичная 1/x) меньше или больше масс W и Z (аналоги 1/l).

Из определений корреляционной длины x и глубины проникновения l следует, что модулярный параметр возрастает от нуля на центральной оси нити до равновесного значения árñ на расстоянии порядка корреляционной длины x, в то время, как магнитное

поле убывает до нуля на расстоянии от центральной линии порядка глубины проникновения l. Следовательно, в сверхпроводнике I рода с x . l вихревое решение будет состоять из тонкого внутрен-

него цилиндра из почти обычного металла, внутри которого магнитное поле падает до нуля, окруженного значительно более толстым внешним цилиндром, внутри которого модулярный параметр возрастает до своего асимптотического значения árñ. Наоборот, вихревое решение в сверхпроводниках II рода с l . x состоит из тон-

кого внутреннего цилиндра с постоянным магнитным полем, внутри которого модулярный параметр возрастает до своего асимптотического значения árñ, окруженного более толстым вне-

шним цилиндром из сверхпроводящего вещества, в котором магнитное поле падает до нуля. Вихревые решения существуют для сверхпроводников обеих типов и при любом магнитном поле, но, как мы сейчас увидим, вихревые нити оказываются энергетически выгодными только в сверхпроводниках II рода и в конечном интервале значений магнитного поля.

Поскольку площадь поперечного сечения каждой вихревой нити порядка px2, и внутри этого сечения вещество находится в

нормальном состоянии или вблизи него, дополнительная энергия в единице объема, необходимая для создания таких вихревых нитей, — порядка N px2D, где N — число нитей на единицу площади. Плотность нитей ограничена условием N < 1/px2, поскольку в

противном случае цилиндры из нормального вещества будут перекрываться, и все вещество можно будет рассматривать как находящееся в нормальном состоянии. Магнитное поле нужно вытеснить из доли вещества 1 – N pl2, åñëè N < 1/pl2, и из всего вещества, если N > 1/pl2. Поэтому плотность энергии вихревого

456 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

состояния относительно сверхпроводящего состояния в отсутствии магнитного поля равна

(Мы оставили здесь численные множители типа 1 или p, чтобы

напомнить читателю происхождение этих выражений, однако не следует воспринимать их буквально.) Для сравнения, плотность энергии нормального металла превышает плотность энергии сверхпроводящего состояния на величину WN = +D, а плотность энергии,

требуемая на то, чтобы вытеснить все магнитные поля из сверхпроводника, равна WS = B2/2. Проверяя, какая из величин WS, WN èëè WV наименьшая, мы можем решить, какое состояние присутствует в данном магнитном поле.

В сверхпроводниках I рода следует различать случаи, когда магнитные поля меньше или больше критического поля Bc ≡ 2 . Вспоминая, что N < 1/px2, è x > l, имеем N < 1/pl2. Òàê êàê

Кроме того, при таких полях WN > WS, так что вещество сверхпроводящее. С другой стороны, при B > Bc из (21.6.29) следует, что WV > [1 + N π(ξ2 − λ2 )] > WN , т. е. вихревые нити опять отсутствуют.

Кроме того, при таких полях WS > WN, т. е. вещество находится в нормальном состоянии.

В сверхпроводниках II рода следует различать три области

значений магнитных полей: B < Bc1, Bc1 < B < Bc2, B > Bc2, ãäå Âñ1 è Âc2 — два критических поля порядка

Bc1 ≈ 2 ξ / λ , Bc2 ≈ 2 λ / ξ .

Как мы видели, единственные стабильные вихревые нити в сверхпроводниках II рода — это нити с минимальным потоком * p/e, òàê

что в магнитном поле В нужно положить число N вихревых нитей

* Данный выше вывод квантования магнитного потока для изолированной вихревой нити здесь применим не полностью. Как мы увидим, расстояние между вихревыми нитями при B > Bc1 меньше, чем глубина проникновения l, поэтому невозможно найти контур C, на котором A – Ñj = 0,

на единицу площади в формуле (21.6.29) равным eB/p. Ïðè B < Bc1 с помощью уравнения (21.6.8) можно показать, что eB/p < 1/pl2.

Поэтому коэффициент при плотности нитей N в (21.6.29) есть положительная величина πξ2 − B2λ2 , так что в этом случае WV >

WS è ïðè Â < Bc1 вихревых нитей нет. Кроме того, при таких полях WN > WS , т. е. вещество полностью сверхпроводящее. При В > Bc1 из (21.6.28) следует, что плотность нитей N = eB/p больше, чем 1/pl2, так что в вихревом состоянии магнитное поле пол-

ностью проникает в сверхпроводник, и плотность энергии дается выражениями (21.6.29) и (21.6.28):

Отсюда, при Bc1 < B < Bc2 имеем WV < WN è WV < WS, так что вещество находится в состоянии вихревых нитей. При B > Bc2 âñå

åùå WV < WS, но теперь WN < WV, так что вихревые нити исчезают, и вся сверхпроводимость уничтожается. Способность сверхпроводников II рода с l . x удерживать намногî более сильные магнитные поля, чем критическое поле Bc ≈ , очень важна для

технических приложений сверхпроводимости, в частности, для разработки магнитов ускорителей на высокие энергии.

Теория Гинзбурга–Ландау применима только в случае, когда вещество находится вблизи перехода между нормальным и сверхпроводящим состояниями, поэтому применим ее для области в окрестности центра вихревой нити, где r падает до нуля. Вблизи цен-

тра нити можно пренебречь ее кривизной и предположить наличие цилиндрической симметрии. Выбираем поле A – Ñj так, чтобы

отличной от нуля была только азимутальная компонента:

просто проведя окружность вокруг вихревой нити на расстоянии, много большем l. Вместо этого необходимо обратиться к соображениям непре-

рывности (М. Тинкхэм, частное сообщение). Предположим, что мы провели произвольную непрерывную кривую между центрами любых двух вихревых нитей. Как показано ниже, на этой кривой вектор A – Ñj очень

большой вблизи каждой из нитей, но направлен в противоположные стороны на концах кривой. Поэтому есть по крайней мере одна точка на каждой такой кривой, в которой A – Ñj = 0. Посколь-ку A – Ñj калибровочно

инвариантна, она должна быть непрерывной, следовательно, существует замкнутый контур вокруг каждой вихревой нити, на котором A – Ñj = 0.

лочке толщиной k вокруг поверхности Ферми *. (Ниже нам удастся избавиться от обрезания k путем введения перенормированно-

го электрон-электронного потенциала.) Оставшиеся степени свободы — это электроны с импульсами вида

где k находится на поверхности Ферми S, n$ (k) — единичный вектор нормали к поверхности в точке k, а 0 £ l £ k. Для таких импульсов

Электронный пропагатор в пространстве волновых чисел и частот имеет тогда вид

Рассмотрим теперь, как зависит от масштаба k произвольный связный матричный элемент при k ® 0. Для каждой петли

имеется интеграл по частотам и пропагатор для каждой внутренней линии, так что интеграл от произведения пропагаторов по всем частотам будет зависеть от l как lL–I, где L — число петель, а I — число внутренних линий. Чтобы подсчитать число интегралов по l, важно заметить, что для произвольных импульсов дельта-функ- ция в слагаемом с взаимодействием в (21.6.37) ограничивает не зна- чения l, а значения k. (Например, если сохранение импульса ограничивает импульсы р1 è ð2 двух электронных линий тем, что полный импульс P ¹ 0, то интеграл по р1 берется по пересечению двух замкнутых оболочек толщиной k, одна из которых имеет центром

* В случае сил, которые зависят от спинов, имеются две ферми-по- верхности, по одной на каждое собственное значение матрицы Es′s(p),

и мы интегрируем по всем электронам в каждом спиновом собственном состоянии, за исключением тех, которые находятся в тонкой оболочке вокруг соответствующей поверхности Ферми.

462 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Р, а другая — нуль. Пересечение этих оболочек есть замкнутое кольцо толщиной κ, так что нужно интегрировать по одной компо-

ненте k, задающей положение вдоль кольца, и двум l, задающим положение внутри сечения кольца.) Следовательно, имеется I интегралов по l, и так как подынтегральное выражение ведет себя как lL–I, матричный элемент будет изменяться как

Число петель связано с числом внутренних линий и числом Vi вершин типа i знакомым соотношением

Кроме того, число внутренних линий связано с числом вершин и числом внешних линий Е другим знакомым соотношением

ãäå ni — число электронных операторов во взаимодействии типа i. Исключая I из соотношений (21.6.44) и (21.6.45), получаем

Слагаемые в действии с ni = 2 приводят только к изменению функции E(p), и следовательно, к сдвигу поверхности Ферми. Истинные взаимодействия имеют ni > 2, и из соотношений (21.6.43) и (21.6.46) следует, что они приводят к слагаемым в матричном элементе, дающим пренебрежимо малые вклады при κ → 0. На языке

раздела 18.5, это означало бы, что все взаимодействия являются несущественными операторами. Вот почему электроны вблизи поверхности Ферми в нормальных металлах ведут себя во многом как свободные частицы.

Однако, есть одно исключение из этого вывода. Если пара электронных линий переходит в вакуум, то трансляционная инвариантность требует, чтобы импульсы этих линий были равны