2 Гидростатические машины. Сила давления покоящейся жидкости на плоские стенки

2.1 Гидростатические машины

Предположим, что в закрытом резервуаре, показанном на рисунке 2.1, в области точки а установлен поршень, который может оказывать давление р кг/м² на некоторую часть пограничной поверхности.

Величина гидростатического давления в любой точке покоящейся жидкости подчиняется основному уравнению гидростатики.

Член gh = rgh зависит только от веса столба жидкости высотой h, поэтому несколько изменим давление р₀ в точке а под поршнем, ровно настолько изменится давление р в любой точке внутри жидкости. В гидравлике это изменение носит название закона Паскаля.

Рисунок 2.1

Закон Паскаля имеет широкое применение в технике и используется при конструировании различных гидравлических машин. На его принципе работают гидравлические прессы, гидравлические подъемники, гидроаккумуляторы и другие гидравлические машины. Основной зависимость в этом случае является соотношения площадей малого и большого поршней и давлениями, создаваемыми при их помощи:

р₁S_{1 =} р₂S₂. (2.1)

Уравнение (2.1) для круглых поршней имеет вид:

р₁d₁² _`= р₂d₂². (2.2)

2.2 Сила давления покоящейся жидкости на плоские стенки

Представим уравнения и зависимости, позволяющие определить силы давления на плоскую стенку и координаты ее приложения.

В том случае, когда плоская стенка подвергается одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне стенки – атмосферное давление), то результирующая р сил давления, воспринимаемая стенкой и нормальная к ней определяется так:

р = р_0.и×F = r×g×h_с×F, (2.3)

где F – смоченная площадь стенки;

р_0.и – избыточное давление в центре тяжести площади F;

h_с – расстояние по вертикали от центра тяжести площади F до пьезометрической плоскости 0 – 0.

При избыточном давлении р_0и на свободной поверхности эта плоскость проходит над свободной поверхностью жидкости на расстоянии

. (2.4)

Если р_0и = 0, то пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью.

Центр давления – точка пересечения линии действия силы Р с плоскостью стенки. Положение центра давления (точки D) плоскости стенки определяется формулами:

Рисунок 2.2;

(2.5)

, (2.6)

где y_d и y_с – расстояние от центра давления D и центра тяжести С площади стенки до линии пересечения плоскости стенки с пьезометрической плоскостью (ось Х);

Dy – расстояние центра давления относительного центра тяжести с вдоль оси Y;

J_с – момент инерции площади стенки относительно горизонтальной оси Х₁, проходящей через центр тяжести площади стенки.

Если ось Х₁ или перпендикулярная ей центральная ось Y₁, являются осями симметрии стенки, центр давления лежит на оси Х₁. Если оси Х₁ и Y₁ не являются осями симметрии, необходимо определить кроме смещения Dy также и смещение DХ центра давления относительно центра тяжести площади стенки вдоль оси Х₁:

, (2.7)

где J_хy – центробежный момент инерции площади стенки относительно осей

Х₁ и Y₁, лежащих в ее плоскости и проходящих через центр тяжести.

Тогда

, (2.8)

где h_D и h_С – вертикальные расстояния соответственно от центра давления D и центра тяжести С площади стенки до пьезометрической плоскости;

В приложении даны моменты инерции J_С площадей некоторых симметричных фигур и координаты их центров тяжести.

Пример 4.

Рисунок 2.3 - Схема сил гидростатического давления на плоские стенки.

Прямоугольный резервуар разделен стенкой на два отсека. Глубина воды в первом отсеке Н₁ = 1,5 м, во втором отсеке Н₂ = 0,9 м, ширина резервуара b = 1,2 м. Определить силы давления Р₁ и Р₂, действующие слева и справа и точки их приложения, а также величину равнодействующей этих сил и точку ее приложения.

Сила, действующая на стенку слева равна:

Р₁ = r × g × h_с1 × f₁ = g × h_с1 × f₁ = 1000 × 0,75 × 1,5 × 1,2 = 13,24 кН.

Известно, что равнодействующая гидростатического давления на плоскую вертикальную прямоугольную стенку расположена на глубине, равной 2/3 глубины жидкости перед стенкой. Следовательно расстояние от поверхности жидкости до точки приложения силы Р₁:

H₁ = 2/3 × 1,5 = 1,0 м.

Сила, действующая на стенку справа:

Р₂ = r × g × h_с2 × f₂ = g × h_с2 × f₂ = 1000 × 0,45 × 0,9 × 1,2 = 4,77 кН.

Расстояние от поверхности жидкости до точки приложения силы Р₂:

H₂ = 2/3 × 0,9 = 0,6 м.

Величина равнодействующей Р = Р₁ – Р₂ = 13,24 – 4,77 = 8,47 кН.

Точка приложения равнодействующей определяется из соотношения:

Р₁ × z₁ – Р₂ × z₂ = Р × z,

где z₁ = Н₁ – h₁ = 1,5 – 1,0 = 0,5 м;

z₂ = Н₂ – h₂ = 0,9 – 0,6 = 0,3 м.

м.

Эту задачу можно решить другим путем – через эпюры давления. Треугольник АВС представляет эпюру давления на 1 пог. м. Стенки слева, а треугольник ДСЕ – справа. Равнодействующая давлений представляется разностью площадей треугольников – площадей трапеции КВС.

Определим суммарную силу давления:

кН.

Точку приложения z равнодействующей Р находим из выражения:

.

Учитывая, что иw₂ = Н₂×(Н₁-Н₂), получим: