Ch_1-_Pr-m_Gl_1-7

y'(2) =

− 3

= -3 .

Согласно

(7.30),

уравнение

касательной

имеет

вид:

(2 × 2 - 3)2

y − 1 = −3(x − 2) ,

или

y + 3x − 7 = 0 , а уравнение нормали (7.31) - y − 1 =

1

(x − 2) ,

или

3

3y − x − 1 = 0 .

7.110.

y =

,

Составить уравнение касательной к графику функции

5x − 9

проходящей через точку M (0;−4) .

Решение. Определим абсциссу точки касания из условия,

что точка M принадлежит

касательной,

т.е.

ее

координаты

удовлетворяют

уравнению

(7.30):

− 4 − f (x0 ) = f '(x0 ) = f '(x0 )(0 − x0 ) .

Подставляя в это соотношение выражение для значения функции и ее производной в

- 5x0

точке x0 , получим уравнение вида: - 4 -

5x0

- 9 =

. Решая его относительно

2

5x0 - 9

x0 , найдем, что

x0 = 2 . Определив значение функции и ее производной в этой точке,

уравнение касательной запишем в виде: y -1 =

5

(x - 2) , или 2 y − 5x + 1 .

2

7.111.

Составить уравнение касательной и нормали в точке (1; 4) к кривой,

заданной параметрически: x =

2 + t

,

y = t 2 .

t 2

= 1,

y0 = 4 , из решения системы:

Решение.

Найдем значение

t , при котором

x0

2 + t

= 1,

= 2 .

2

t

Получим, что t

t 2

= 4.

Производную определим по формуле (7.27): y'

= -

2t 4

.

x

t + 4

Значение производной при t = 2 : y'

= -

16

.

x

3

Тогда

уравнение

касательной

запишется

в

виде:

y - 4 = -

16

(x -1) ,

или

3

3y + 16 − 28 = 0 ,

а

уравнение

нормали

примет

вид:

y - 4 = -

3

(x -1) ,

или

16 y − 3x − 61 = 0 .

16

7.112.

Найти угол между параболами y = x2 + 6x - 5 и y = x2 + 7 в точке их пересечения.

Решение. Решив совместно систему уравнений парабол, находим точку их

пересечения:

x0

= 2

и y0

=11. Продифференцировав уравнения парабол y'1 = 2x + 6 ,

y'2 = 2x ,

найдем

их

угловые

коэффициенты

в

точке

пересечения:

y'1 (2) = 10, y'2 (2) = 4. Согласно (7.32),

тангенс

угла

между

параболами

будет

равен:

tg j =

10 − 4

=

6

. Следовательно, j = arctg

6

» 8.30.

1 +10 × 4

41

41

Составить уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:

7.113. y = 2x3 - 4x2 - 5x - 3, x0

= 2.

7.114. y = ln(1+ x), x0 = 0.

2x + 3

3

7.115.

y =

, x0 =

0.

x =

2 cos

t;

t =

π

2x −1

7.118.

.

y =

2

sin 3 t;

4

x = t + 3;

+ y 2 + 4x −17 = 0, y0 = 1.

7.116.

M 0 (5;1)

7.119.

x3

y =

t −1;

+ 2xy 2 + 3y 4

= 6, M 0 (1;−1).

x2

x = t − sin t;

π

7.120.

7.117.

t =

.

y =

1− cos t;

2

7.121.

Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции,

проведенная в указанной точке? Написать уравнение касательной:

а) y = x2 − 5x + 8, x0

= 3;

б) y = ln(1− x), x0 = 0

7.122.

Составить уравнение касательной к кривой

y = 5x − x 2 , параллельной прямой,

проходящей через точки

(1;7) и

(-2;2).

y = x3 + 2x +1,

7.123.

Составить

уравнения касательных

к

кривой

перпендикулярных прямой

5 y + x − 4 = 0.

y = ln(x −1), перпендикулярной

7.124.

Составить уравнение касательной к кривой

прямой, образующей с осью абсцисс угол 1350 .

2x − 7

7.125.

Составить уравнения касательных к кривой

y =

:

4x − y − 2 = 0;

x − 3

а) параллельных прямой

б) перпендикулярных прямой

2x + 2 y − 5 = 0 .

7.126.

Составить уравнение касательной к кривой

y = e− x :

а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;

б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный –1.

2x + 3

7.127.

Составить уравнение касательной к графику функции y =

,

x + 4

проходящей через точку

М (6; 2).

7.128.

Найти угол между кривыми:

а) y = x2 + 5x −1 и y = x2 + 4 ;

б) y = x3 и y =

1

;

в) x2 + 4 y 2 = 9 и

x2

y 2 = 2x .

7.129. Тело движется прямолинейно по закону s(t). Определить скорость и

ускорение тела в указанный момент времени t0 :

а) s(t) = t 3 − 2t 2 − t , t0 = 2 ;

б) s(t) =

2t +1

, t0 = 7 .

t + 3

h(t) = 9t − 2r 2 .

7.130.

Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону:

экономического

объекта или процесса по времени или относительно другого

исследуемого фактора.

Издержки

производства. Если

издержки производства y рассматривать как

функцию выпускаемой продукции x ,

т.е. y = C(x) , то y = C'(x) будет выражать

затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются

издержками на единицу выпуска продукции: y =

C(x)

.

1

x

x = C(x) + S (x) .

(7.33)

Дифференцируя, получим, что

dC

+

dS

=1 ,

(7.34)

dx dx

где

dC

- предельная склонность к потреблению;

dS

- предельная склонность к

dx

dx

Ex

( y) =

x

× y'x

или Ex ( y) = x ×Ty ,

(7.35)

y

где

T

(x) = (ln y)'=

1

y'

(7.36)

y

y

x

Если

эластичность спроса

Ex ( y)

>1, то спрос считается эластичным, если

Ex ( y)

=1

– нейтральным (с

единичной эластичностью), а если

Ex ( y)

<1 –

y(x) = 0,1x3 -1,2x2 + 5x + 250 (ден. ед.). Найти средние и

предельные издержки

производства и вычислить их значение при x = 10 .

Решение. Найдем производную y'(x) и ее значение y'(10)

- предельные издержки

производства:

y'(x) = 0,3x2 + 2,4x + 5; y'(10) = 30 − 24 + 5 = 11.

Средние издержки:

y1 (x) =

0,1x3 -1,2x 2 + 5x + 250

= 0,1x 2 -1,2x + 5 +

250

;

x

x

y1 (10) =10 -12 + 5 + 25 = 28 .

1

Решение:

Предельная склонность к потреблению:

C'(x) = 0,25 + 0,48x

3

; ее

значение: C'(27) = 0,25 + 0,48 × 3

= 1,69 .

27

Предельная склонность к сбережению:

1

; ее значение: S '(27) = 1−1,69 = −0,69 .

S '(x) =1- C'(x) = 0,75 - 0,48x

3

7.133.

Объем производства зимней обуви

u , выпускаемый некоторой фирмой,

может описан уравнением u =

1

t 3 -

7

t 2 + 6t + 2100

(ед), где t

- календарный месяц года.

3

2

( t = 0 ); б) в середине года ( t = 6 ); в) в конце года ( t = 12 ).

Решение.

Производительность

труда

выражается

производной

z(t) = u'(t) = t 2 − 7t + 6

(ед./мес.), а скорость

и темп изменения производительности –

соответственно

производной

z'(t) и

логарифмической

производной

Tz (t) = [ln z (t )]':

z'(t) = 2t − 7 (ед./мес.2), T

(t) =

z'(t)

=

2t − 7

(ед./мес.).

− 7t + 6

z

z(t) t 2

В заданные

моменты

времени соответственно имеем z(0) = 6 (ед./мес.),

z'(0) = −7 (ед./мес2.),

Tz (0) = -0,857 (ед./мес.),

z(6) = 0 (ед./мес.), z'(6) = 5

(ед./мес2.),

Tz (6) = 0 (ед./мес.), z'(12) = 66 (ед./мес.2), z'(12) = 16 (ед./мес.2), Tz (12) = 4,125 (ед./мес.).

7.134.

Функция

спроса q =

3 p + 14

и предложение s = p + 2 ,

где

q и s -

p + 3

Решение: а) Равновесная цена определяется из условия

q = s , т.е.

3 p +14

= p + 2 ;

p + 3

откуда p = 2 , т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (7.35):

E p (g) = -

5 p

E p (s) =

p

;

.

( p + 3)(3 p

+14)

( p + 2)

Для равновесной цены p = 2 имеем

E p=2 (q) = -0,1; E p=2 (s) = 0,5 .

Решение.

Эластичность

спроса

по

формуле

(7.35)

есть

p

p

(q) =

- p )'= -

.

E p

(18

-

2(18 -

18

p

p)

Спрос

нейтрален, если

E p (q)

= 1 . Решая

это уравнение, имеем

p = 144 . Далее,

Решение. Средние затраты на единицу продукции равны: y

=

y

. По формуле (7.35.)

1

x

коэффициенты эластичности полных и средних затрат равны: Ex ( y) =

x

× y';

y

x

x

y

x2 xy'- y

x

E

( y ) =

× y '= x

'=

=

y'-1 = E

( y) -1,

т.е.

коэффициент

x

1

y1

1

y x

y x2

y

x

7.139.

Функция издержек производства

y от объема выпускаемой продукции x

имеет вид

y =100x - 0,2x3 . Определить средние и предельные издержки при объеме

продукции 10 ед.

7.140.

Себестоимость продукции

y

связана с объемом выпускаемой продукции x

уравнением:

y = 6 ln(1+ 3x) . Определить

среднюю и

предельную себестоимость

выпускаемой продукции при объеме, равной 10 ед.

7.141.

Производительность

труда

бригады

может описана уравнением

7.143.

Функция потребления некоторой страны имеет вид:

4

доход составляет 32.

7.144.

Функция потребления некоторой страны имеет вид:

2

7.145.

Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия y

(млн. руб.) и

объемом выпускаемых изделий x (тыс.

шт.) выражается уравнением

y =

− 2 .

x + 4

Найти эластичность себестоимости

продукции предприятия,

7.147. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции y

(млн. руб.) и

объемом производственных фондов x (млн. руб.) выражается уравнением

y = 0,6x − 4 .

7.148.

Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (в руб.)

и

выпуском продукции

x (в млн. руб.) выражается уравнением

y = −0,5x + 80 . Найти

эластичность себестоимости при выпуске продукции на 30 млн. руб.

7.149.

Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии x (тыс. ед.)

и затратами

на их изготовление y (тыс. руб.)

для предприятия отрасли выражается

уравнением

y =

27

+ 6 . Найти эластичность затрат для предприятий, выпускающих по 10

x

тыс. деталей в партии.

7.150.

Найти эластичность

функции

спроса

при заданной стоимости

p :

а) q + 10 p = 50 , p = 3 ;

б) 5q + 3 p = 70 , p = 10 ;

в) p 2 + p + 4q = 26 , p = 2 и p = 4 .

7.151.

Для следующих функций спроса найти значение

p , при которых спрос

а) 2 p + 3q = 12 ;

б) q = 50(15 −

в) q = 3

.

3600 − p 2

является эластичным:

p ) ;

7.152.

Задана функция спроса q и предложения s от цены x : q = 10 − x , s = 3x − 6 .

7.153. Функции спроса q и предложения x

на некоторый товар от его цены

x

задаются уравнениями: q =

20 + x 2

,

s =

2,5 − x + 4x2

. Найти: а) равновесную цену;

б)

1 + 10x

1+10x

7.154.

Зависимость потребления y от дохода x задается функцией y =

ax

.

a + b