П4. «Поперечный» сдвиг частот в оптике и акустике

В настоящей работе выяснена подлинная природа частотного сдвига гармонического сигнала при поперечном движении источника сигнала. Показано, что эффект связан с неустранимым ускоренным изменением дистанции от источника до приёмника. Именно ускоренность взаимного движения вызывает указанный эффект, независимо от природы исследуемых сигналов. В акустике эффект существует точно в таком же виде, как и в оптике, и не нуждается в постулатах СТО и/или ОТО для своего объяснения.

Относительное изменение частоты от ускорения

Рассмотрим ситуацию, изображённую на рис. П4.1

Рис. П4.1. Жёстко связанные приёмник и излучатель звука, движущиеся ускоренно относительно среды

Источник звука И излучает звуковые колебания с частотой f . При этом источник

жёстко механически связан с приёмником П (они закреплены на одном основании) и расстояние между ними l . Вся система движется со скоростью v и ускорением a . Скорость распространения звуковых колебаний в среде vзв . В некий момент времени t0

излучатель начал работать. Для того чтобы звук от источника И достиг приёмника П , потребуется время τ , равное:

Поскольку излучённый звук более не связан с источником и приёмником, а связан лишь со средой, предполагающейся неподвижной, то за время τ , пока звук «летит» от источника И к приёмнику П , скорость приёмника возрастёт на величину v , равную:

(П4.2) v = aτ = al [м/с].

vзв

Длина волны звука постоянна и никак не зависит от движения приёмника. Следовательно, увеличение взаимной скорости звуковой волны и приёмника в определенном смысле эквивалентно изменению частоты принятого звукового сигнала:

245

Эта формула в точности соответствует формуле для инерционного красного смещения, полученного в ОТО с той разницей, что вместо скорости света стоит скорость звука в среде. Оценим величину изменения частоты f при ускорении 10 м/с2, длине базы l = 0.1

м, скорости звука в воздухе 330 м/с и частоте ультразвука 40 кГц (типовая частота для распространённых парковочных ультразвуковых датчиков):

Видим, что изменение частоты хотя и малое, но вполне измеримое. Детально, эксперименты по обнаружению этого эффекта в акустике описаны в приложении П.3. Отметим, что ровно ту же формулу мы получим для случая, когда ни приёмник, ни излучатель не имеют начальной скорости, и даже в том случае, если излучатель, например, неподвижен и ускоренно движется только приёмник.

Геометрия поперечного движения и вывод формулы частотного смещения

Рассмотрим теперь ситуацию, представленную на рис. П4.2

Рис. П4.2. Поперечное движение источника волн относительно приёмника

Пусть источник движется равномерно и прямолинейно со скоростью vr . В некий момент времени, принимаемый заr начало отсчёта времени, он оказывается движущимся

перпендикулярно вектору l , соединяющему приёмник и источник. Пусть теперь через некоторое время t , в течение которого источник продолжал двигаться равномерно и прямолинейно, он оказывается в новом положении А. Теперь расстояние до от положения источника А до приёмника обозначим r . Выразим расстояние r от времени t . Очевидно, что по теореме Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника:

(П4.5) r = l 2 + v2t 2 [м].

Теперь определим ускорение a(t) источника относительно приёмника путём двукратного дифференцирования расстояния по времени:

246

А теперь устремим время t к нулю, чтобы получить величину ускорения в начальном положении источника:

Видим, что для любого расстояния до источника l ускорение отлично от нуля. Главным возражением против осмысленности только что проделанных выкладок обычно является заявление, что с ростом l ускорение уменьшается до ничтожных величин. Да, это так. Однако взгляните на формулу (П4.3), описывающую относительно смещение частоты сигнала, излучённого ускоренно движущимся источником. Как видите, оно линейно растёт с ростом расстояния l . Подставим же выражение для ускорения a из (П4.7) в (П4.3) и получим для относительного сдвига частоты:

То есть относительный сдвиг частот оказался пропорционален отношению квадратов скоростей источника и распространения сигнала в среде. И это отношение не зависит от расстояния и качественно совпадает с результатами экспериментов, выполненных как в оптике, так и в акустике. Таким образом, «поперечный эффект Доплера» не является специфически релятивистским эффектом, а представляет собой вполне тривиальное следствие нелинейности изменения расстояния до источника от времени при поперечном движении источника в рамках Евклидовой геометрии. Механизм явления совершенно прост: чтобы говорить о частоте волн, необходимо излучить хотя бы несколько периодов, иначе понятия «спектр», «частота», «ширина полосы» просто неприменимы. За то время пока эти несколько периодов излучаются, источник успевает сместиться из положения точной перпендикулярности и приобрести относительно приёмника радиальную скорость v = at . Понятно, что средняя его скорость за весь этот период будет равна половине максимальной (движение было примерно равноускоренным!). Тогда формулу (П4.8) следует откорректировать, помножив на 1/2.

Напомним, что в соответствии с известным релятивистским выражением для поперечного эффекта Доплера:

При малых скоростях сравнительно с vзв выражения (П4.9) и (П4.10) дадут практически

одинаковый результат. На рис. П4.2а приведены графики зависимости относительного сдвига частот от скорости перпендикулярного движения. Красным цветом изображена

247

И. Мисюченко Последняя тайна Бога

зависимость по формуле (П4.9), чёрным - по формуле (П4.10). Видим, что при скоростях меньших половины скорости распространения волны, отличия весьма незначительны.

«Однако, мы рассмотрели не все явления, в данном случае приводящие к «сдвигу" частот. Вторым фактором, который следует непременно учитывать при рассмотрении «поперечного Доплера», является аберрация звука (света). Звук от движущегося источника распространяется под некоторым углом к вектору l на рис. П4.2. Аберрацию звука оценить несложно из простых соображений. Пока звук распространяется от источника к приёмнику время τ = l / vзв , источник успевает сдвинуться на некоторое

расстояние τv . То есть нарушается перпендикулярность движения и образуется продольная компонента скорости (направленная вдоль r ). Можно показать, что при малых относительных скоростях движения эта продольная проекция vr будет иметь величину:

Тогда связанный с ней линейный эффект Доплера примет значение:

То есть имеет ту же структуру и порядок величины, что и эффект связанный с ускоренностью изменения расстояния между источником и приёмником. Эффекты аберрации следует обязательно учитывать при постановке экспериментов, иначе результат будет весьма далёким от реальности. В случае звука всё более-менее просто, поскольку мы можем легко отметить момент именно перпендикулярного движения источника. В случае со светом всё сложнее, поскольку информация о «моменте перпендикулярности» дойдёт до нас не быстрее, чем сам излучённый свет.

Графики на рис. П4.2а получены при помощи следующего м-скрипта в среде

Matlab 6.5:

v=[1:299];

f1=v.^2/c^2; f2=1.-sqrt(1.-v.^2/c^2); plot(v,0.5*f1,'r',v,f2,'k'); grid on;

Физический смысл того, что максимальный частотный сдвиг по формуле (П4.9) составит не более 50%, весьма прозрачен: когда радиальная проекция скорости источника от нулевой достигнет предельной скорости vзв , частота принимаемого сигнала будет

равна нулю. Однако средняя частота между нулём и f есть, разумеется, f / 2 . После

достижения предельной радиальной скорости говорить о перпендикулярном Доплере уже невозможно, так как источник уже движется строго радиально.

248

Рис. П4.2а. Сопоставление выражений (П4.9) и (П4.10) для поперечного релятивистского эффекта Доплера

Геометрия кругового движения и "проверки ОТО"

Рассмотрим теперь случай, когда источник и приёмник движутся по круговым орбитам. Случай имеет практическое значение, так как некоторые так называемые «проверки ОТО» производились при помощи спутников, в т. ч. находящихся на геостационарных орбитах.

На рис. П4.3 изображён случай, когда источник расположен в центре, а приёмник совершает равномерное круговое движение вокруг него на заданном расстоянии r .

Рис. П4.3. Круговое движение источника и приёмника, источник в центре

249

Пусть источник И непрерывно излучает сферические волны. Например, акустические или оптические. Совершенно очевидно из геометрии рисунка П4.3, что за время t , пока испущенный источником фронт сферической волны достигнет радиуса r , приёмник П повернётся в положение П' . Но при таком повороте (с сохранением расстояния до центра) движущийся приёмник «коснётся» волнового фронта ровно в тот же момент времени, что и при неподвижном приёмнике. Следовательно, в точке приёма движущегося приёмника мы будем наблюдать ту же фазу и частоту волны, что и при неподвижном приёмнике. То есть, несмотря на то, что ускорение приёмника не равно нулю, тем не менее, никакого эффекта частотного сдвига наблюдаться не должно. Картина совершенно изменяется, как только мы выносим источник из центра окружности и располагаем его на некотором расстоянии l от центра. Именно такая ситуация имеет место при экспериментах со спутниками (рис. П4.4).

Рис. П4.4. Круговое движение источника и приёмника, источник расположен на радиусе

Видим, что приёмник П при повороте вокруг центра окружности O в положение П' удаляется от фронта сферической волны, испущенной источником И . То есть приёмник должен воспринимать как минимум другую фазу волны, а возможно и более низкую частоту, чем та, которая испущена источником. В случае, когда источник И почти неподвижен (спутник не на геостационарной орбите), то очевидно, что будет меняться не только фаза, в которой приёмник принял волну, но и частота в силу того, что приёмник постоянно удаляется от источника. В случае геостационарной орбиты эффекты, скорее всего, ограничатся изменением фазы принимаемого сигнала на некую постоянную величину.

Необходимо отметить, что из вышесказанного следует довольно-таки общий вывод о том, что ускорения, различные по своей природе и наблюдаемые в различных ситуациях,

вообще говоря - различны. То есть производят различные эффекты. Нельзя при анализе ускоренных движений бездумно пользоваться результатами, полученными при существенно других условиях, чем изучаемые. Так, например, выражение (П4.3) для частотного сдвига в ускоренной системе, приведенной на рис. П4.3, оказывается неприменимо.

250