Глава 8. Электромагнитные волны

§ 8.1. Колебания и волны. Резонанс. Общие сведения

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются повторяемостью во времени. Колебательные процессы происходят и в механике (качание маятника), и в электродинамике (колебания электрического тока), и даже в химии (колебательные реакции вроде реакции Белоусова-Добронравова). Физическая природа колебаний может быть различной, но колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и уравнениями. В физике разработан единый подход к таким процессам.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счёт первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Простейшим типом колебаний считаются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса (косинуса). Любые периодические процессы можно представить в виде совокупности гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением вида:

(8.1) s = Acos(ω0t +ϕ) ,

где A - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания; ω0 - круговая (циклическая) частота.

Периодически изменяющийся аргумент косинуса (ω0t +ϕ) называется фазой

колебания. Она определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t . Величина ϕ - называется начальной фазой колебания. Она

определяет смещение колеблющейся величины в начальный момент времени (t = 0) .

Состояние колеблющейся системы повторяется через некоторое время T , называемое периодом колебаний. За это время фаза колебания получает приращение 2π . Отсюда вытекает связь:

(8.2) T = 2π .

ω0

Величина, обратная периоду колебаний называется частотой колебаний:

(8.3) ν = T1 ,

т.е. число полных колебаний, совершаемых системой в единицу времени. Сравнивая (8.2) и (8.3), получаем:

(8.4) ω0 = 2πν .

Единица частоты герц (Гц). Путём несложной подгонки устанавливается уравнение колебаний:

164

На самом деле это уравнение будет описывать не только гармонические колебания, но и, например, экспоненциальные процессы. Иногда колеблющуюся величину удобно представлять в виде комплексных чисел:

(8.6) s = Aei(ω0t +ϕ) .

При такой записи очевидно: Re(s) = s = Acos(ω0t +ϕ) . Выделение действительной части

часто опускают при записи, это полезно иметь в виду, читая физическую литературу. Механические колебания принято описывать на основе колебаний материальной

точки. Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат x около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда s = x и справедливо:

(8.7) x = Acos(ω0t +ϕ) .

Тогда скорость и ускорение можно выразить, дифференцируя (8.7):

(8.8) v = −Aω0 sin(ω0t +ϕ) .a = Aω02 cos(ω0t +ϕ)

Зная ускорение a и массу колеблющейся материальной точки m , по 2-му закону Ньютона можем записать для силы, действующей на тело:

(8.9) F = −mω02 x .

Следовательно, сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия). Если вычислить кинетическую и потенциальную энергию колеблющегося тела, то получим:

Полная энергия материальной точки представляет собой сумму кинетической и потенциальной, соответственно:

(8.11) = Π + = mA2ω2 .

E T 0

2

Полная энергия, как видим, остаётся постоянной. Кинетическая же и потенциальная энергии меняются с удвоенной частотой 2ω0 и сдвинуты во времени одна относительно

другой по фазе на 90 градусов. Отметим, что это общее свойство колебаний. Это крайне важный момент: рассматривая колебания пружинного маятника, физического маятника, так называемого математического маятника, обнаруживают эти же базовые свойства.

165

Рассмотрим теперь электрическую систему, состоящую из индуктивности и емкости. Такая схема называется колебательным контуром. В идеализированном контуре нет потерь энергии, и, следовательно, омическое сопротивление отсутствует (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Электрический идеализированный колебательный контур

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор C предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q . Тогда энергия поля между обкладками конденсатора

в начальный момент времени Q2 . Если замкнуть заряженный конденсатор на катушку

2C

индуктивности L , то он начнёт разряжаться, создавая нарастающий со временем ток I . Когда конденсатор полностью разрядится, ток в цепи достигнет максимума и

станет равен LQ&2 . Поскольку потерь энергии нет, то полная энергия сохраняется: 2C

(8.12) W = Q2 + LQ&2 = const . 2C 2

Достигнув максимума, ток не может остановиться мгновенно и продолжает течь после полной разрядки конденсатора. Следовательно, он теперь заряжает конденсатор напряжением противоположной полярности. По мере заряда конденсатора будет нарастать электрическое поле, стремясь ослабить ток. И, в конце концов, ток будет остановлен окончательно, а напряжение на конденсаторе достигнет максимума, но уже при полярности конденсатора, противоположной начальной. Затем процесс повторится. Такова общепринятая в физической литературе трактовка [1].

На наш взгляд, процессы в колебательном контуре можно описать столь же просто,

рассматривая поведение электронов. Вначале какое-то количество электронов Q было e

перенесено с одной обкладки конденсатора на другую. Избыточные заряды на обкладках отталкиваются, создавая электростатическое «давление» электронов. Затем к конденсатору была присоединена индуктивность. Электроны под действием этого «давления» пытаются вернуться на своё изначальное место, восстанавливая электронейтральность пластин конденсатора. При этом им придётся пройти через индуктивность. Движущиеся электроны – это ток. Но ток электронов нарастает, поскольку каждую пикосекунду времени всё большее количество электронов переходит из пластины конденсатора в проводник индуктивности. Значит ток электронов переменный. А переменный ток вызывает явление самоиндукции, зависящее от величины индуктивности L . Самоиндукция препятствует нарастанию тока. Электроны разгоняются, но разгоняются с ограниченным ускорением. Оно тем меньше, чем больше величина индуктивности. К моменту, когда на пластинах конденсатора восстановится электронейтральность, большое количество электронов проводника катушки индуктивности оказывается вовлечено в движение. Электроны – материальные частицы, имеющие массу. Они не могут теперь мгновенно остановиться. Кроме того, мгновенно остановиться - означает мгновенно прекратить ток, а этому вновь воспрепятствует

166

явление самоиндукции. Следовательно, электроны будут продолжать двигаться, несмотря на то, что электронейтральность пластин конденсатора уже восстановлена. И, следовательно, электронейтральность их вновь нарушится. Нарастающее электростатическое давление будет препятствовать поступлению новых электронов из проводника индуктивности. И, в конце концов, ток будет остановлен. Процесс повторится. Уже из этого рассмотрения видно, что индуктивность в контуре играет роль массы (инерции), а конденсатор - роль возвращающей силы пружины (упругости). Такая аналогия приходила на ум настолько часто, что стала даже традиционной [1], [2]. Но никому, по всей видимости, не пришло в голову, что сходство простирается значительно дальше, чем простая аналогия.

В случае, если в системе имеются потери энергии (энергия необратимо уходит в тепло, излучение или другие формы), процесс несколько видоизменяется. Амплитуда колебаний становится всё меньше и меньше с каждым периодом и, в конце концов, колебательный процесс прекращается. Это называется затуханием колебаний. В большинстве реальных процессов участвует затухание. Затухание в электрическом контуре выражается в виде эквивалентного омического сопротивления, включённого в цепь последовательно (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Электрический контур с потерями

Кроме того, затухание влияет на величину периода свободных колебаний контура а, значит, и на частоту собственных колебаний:

При R = 0 (8.14) переходит в более простую формулу Томсона:

Если колебательный процесс происходит под воздействием регулярно изменяющейся внешней силы, то такой процесс называется вынужденным колебанием. Амплитуда таких вынужденных колебаний зависит не только от вынуждающей силы, но и от частоты изменения этой силы. Когда частота вынуждающей силы приближается к частоте

167