целесообразно применять определение ЭДС индукции через скорость и индукцию поля. В случае нестационарного движения следует определить, с какой именно скоростью, через какой элемент проводника движутся какие именно фрагменты поля, исчислить соответствующие им силы Лоренца, действующие на свободные заряды в элементе проводника, и проинтегрировать их. Если известно, что источником поля является провод с током, то целесообразно использовать выражение через расстояние и производную индукции поля, поскольку для элементов с током эта работа уже проделана, а механизм интегрирования дан Био, Саваром и Лапласом.

§ 4.5. Частный случай взаимоиндукции бесконечного прямого провода и рамки

Мы выше обещали дать пример, в котором ясно видно было бы, что закон электромагнитной индукции Фарадея (4.1) и предложенный нами закон электромагнитной индукции (4.15) приводят не только к одинаковым результатам, но и дают различные решения, хотя бы в некоторых случаях. Иначе можно было бы подозревать, что единственное наше достижение - это переформулировка другими словами закона Фарадея. На наш взгляд, показательным примером может являться случай взаимной индукции бесконечного прямого провода с током и рамки, расположенной в одной плоскости с этим током. Дело в том, что классический подход Фарадея даёт безграничное увеличение ЭДС индукции в рамке по мере приближения её к проводу, что, во-первых, подозрительно из общих соображений, а во-вторых – просто не соответствует опыту. Но даже не это является наиболее интересным. Главным расхождением явились не числа, а сам механизм явления. Оказалось, что, последовательно применяя наши представления об индукции, мы с неизбежностью получаем, что возникновение ЭДС в рамке является не амплитудным, как до сих пор думали физики, а фазоразностным явлением. То есть ЭДС, наводимая в сторонах рамки, параллельных бесконечному проводу с током одинакова. Об этом можно было бы догадаться уже в п.3 главы 1, поскольку там показано, что суммарная сила Лоренца, действующая на электрон со стороны изменяющегося поля бесконечного провода с током, не зависит от расстояния до этого провода. ЭДС же, наводимая в перпендикулярных к бесконечному току сторонах рамки, равна нулю (см. рис. 4.2). Так как же тогда возникает ненулевая суммарная ЭДС в контуре? Ведь сумма ЭДС сторон по контуру равна нулю! Оказывается, поля вблизи провода (близость определяется по отношению к длине волны с наивысшей частотой в спектре тока) движутся сравнительно медленно. Далеко не со скоростью света. И время пробега поля между одной стороной рамки и противоположной оказывается вполне ощутимым. То есть средняя-то ЭДС в этих сторонах рамки действительно одинакова, как и показывает теория, но мгновенные значения ЭДС не равны, ибо существует фазовый сдвиг между ними. До сих пор о возможности такого механизма образования ЭДС, похоже, никто даже не задумывался по той простой причине, что всегда измерялась (и вычислялась!) только суммарная ЭДС по контуру рамки. Итак, рассмотрим (рис. 4.3).

112

Рис. 4.3. Взаимоиндукция бесконечного провода с током и квадратной рамки

По бесконечно длинному проводу в левой части рисунка протекает ток I . В правой части расположена рамка со сторонами a и b . Сторона b ближайшая к проводу

расположена от него на расстоянии l . Если ток в проводе меняется со скоростью dI , dt

какая ЭДС U будет наведена в рамке?

Классическое решение. В духе закона Фарадея задача решается так [3]: в соответствии с (4.6) ЭДС равна произведению взаимной индуктивности провода и рамки

L умноженной на скорость изменения тока в проводе dI взятая с обратным знаком. dt

Таким образом, задача сводится к нахождению взаимной индукции L . Взаимная индуктивность может быть найдена а) как отношение магнитного потока через рамку

Iloop

через бесконечность, поэтому и введен термин «контур-провод». Ясно, что способ a) явно проще, так как поле провода находится более просто, чем поле рамки. Оно равно:

(4.16) B = μμ0 I ,

2πr

где r обозначает некоторое произвольное расстояние от оси провода. Поток, пронизывающий рамку и созданный только этим полем провода B , легко находится как

113

Взаимная индуктивность, следовательно, составляет:

Соответственно, ЭДС наводимая в рамке:

(4.19) U = −L dIdtwire = − μμ2π0b ln(1+ al ) dIdtwire .

Анализируя полученное решение, видим, что при неограниченном приближении рамки к проводу с током ЭДС в рамке будет неограниченно (хотя и логарифмически) расти. Этот результат, хотя и противоречит и здравому смыслу и инженерной интуиции, согласуется с представлениями современной физики о том, что при «утоньшении» тока магнитное поле вблизи такого тока неограниченно растёт. Но результат решительно расходится с представлениями только что изложенной нами теории движения полей, согласно которой ЭДС в сторонах рамки, параллельных проводу одинаковы по амплитуде и отличаются лишь по фазе, а в сторонах перпендикулярных проводу равны нулю. Следовательно, даже если фазы ЭДС противоположны, то суммарная ЭДС будет равна всего лишь удвоенной ЭДС в одной боковой стороне. Как бы мы ни приближали рамку к проводу. А вот это уже такая разница, которая может быть проверена экспериментально!

Решение с применением теории движения полей. Вначале давайте определим максимальную величину ЭДС. Поскольку для каждой стороны с ненулевой ЭДС её величина, согласно (4.9):

(4.20) U = −b μ0 μ dIwire , 4π dt

то максимальная возможная сумма ЭДС в двух сторонах будет равна:

(4.21) U max = −2b μ40πμ dIdtwire = − μ20πμb dIdtwire .

Отличается от (4.19) только логарифмическим множителем. Когда же реализуется (4.21)? По-видимому, тогда, когда ближняя сторона рамки совпадает (или почти совпадает) с проводом, а вторая сторона достаточно удалена. Поскольку поле по мере удаления от провода с током движется всё быстрее и быстрее, то разность фаз между сторонами рамки всё меньше и меньше. Значит, полное решение должно убывать с расстоянием. Чтобы получить полное решение, нам придётся сделать один решительный шаг: признать, что информация об изменении поля распространяется именно со скоростью движения поля, а не с какой-либо другой. То есть временной сдвиг между ЭДС в одной стороне рамки по отношению к другой это именно то время, которое потребуется полю, чтобы преодолеть в своём движении расстояние между двумя сторонами рамки. Мы уже выводили среднюю скорость движения поля возле бесконечного провода с током на расстоянии r от провода:

114

где B и B& напряжённость магнитного поля провода с током и её производная соответственно. Зададимся, для простоты вычислений, конкретным видом закона изменения тока во времени. Пусть ток (а значит и напряжённость магнитного поля)

Отметим, что использование «средней скорости» в данном случае это тоже некоторое упрощение и приближение. Для более точного решения пришлось бы снова складывать поля всех элементов провода с током, что привело бы к громоздким вычислениям. Поскольку движение поля ускоренное (скорость растёт с ростом расстояния до провода), то время, за которое поле пройдёт расстояние от l до l + a , следует исчислять, разбив этот интервал на множество мелких интервалов dr . Затем, полагая движение на малом интервале равномерным и просуммировав все малые времена (приближённо равные

в самом деле частота, если выбранная нами экспонента изменения тока не простая, а комплексная), тем больше набег фазы. Чем больше время, тем больше набег фазы. То есть:

(4.25) ϕ = t α =α α2 ln(1+ al ) = 2ln(1+ al ) .

Как видим, «частота» α благополучно сократилась, следовательно, уже и не важно, какова она была. Пусть она была комплексным числом, тогда мы имеем дело с гармонически изменяющимся током и гармонически изменяющимся магнитным полем соответственно. Тогда ЭДС наводимая в каждой параллельной проводу стороне рамки, будет меняться от времени по одинаковому гармоническому закону, но с взаимным сдвигом фаз на ϕ . Амплитуда полной ЭДС в рамке при малых значениях ϕ будет

пропорциональна ϕ и равна с учётом (4.25):

что полностью совпадает с выражением (4.19), полученным из классического закона Фарадея. Если же набег фазы не мал, то придётся воспользоваться известной

115

Рис. 4.4. Сравнение классического решения по Фарадею с решением по теории движения поля

тригонометрической формулой 2sin Acos B = sin(A + B) +sin(A − B) [8]. В данном случае за B мы примем полунабег фазы ϕ / 2 . Переменная A у нас здесь это αt . Поскольку мы интересуемся только амплитудой , то полное выражение для ЭДС в рамке примет вид:

Это решение, хотя и имеющее структуру, очень похожую на классическую, тем не менее, отличается содержательно: оно ограниченно при сколь угодно близком расположении провода и рамки. Разница между классическим решением (4.19) и нашим полным решением (4.27) проявляется только при расстояниях l логарифмически малых, по сравнению с а. При этом l оказывается соизмеримой с толщиной провода, если специально не избегать этого при планировании эксперимента. Вот почему до сих пор всех устраивало решение (4.19). Отклонения результатов от формулы приписывались влиянию конечной толщины провода, а сам подход не подвергался сомнению. Теперь, зная механизм возникновения ЭДС в рамке, можно попытаться спланировать и осуществить эксперимент, в котором влияние конечной толщины провода было бы небольшим и при этом можно было бы сравнить экспериментальные результаты с (4.19) и

(4.27). На рис. 4.4 приведены результаты расчёта для (4.19) и (4.27) в зависимости от l при а =10 (величина а зафиксирована). Когда l становится много больше а (правый нижний угол графика), ЭДС в рамке, разумеется, исчезает (по классической теории площадь рамки, а значит и поток вектора магнитной индукции стремятся к нулю, а по теории

116