Глава 11. Атом водорода и строение вещества

§ 11.1. Простейшая модель атома водорода. Всё ли изучено?

Развив представления о строении элементарных частиц, можно перейти к представлениям о более крупных и сложных структурных единицах зримой материи, к атомам. Самым простым и хорошо изученным на сегодняшний день представляется атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона. В начале XX века трудами Резерфорда и Бора была создана планетарная модель атома водорода. Согласно этой модели, электрон совершает круговое движение вокруг протона таким образом, что центробежная сила компенсирует силу Кулоновского притяжения между электроном и протоном, подобно тому, как при движении планет по орбитам центробежная сила компенсирует силу тяготения. У этой модели был, казалось, лишь один серьёзный недостаток: учёные уже знали, что движущийся ускоренно электрон должен излучать электромагнитные волны и, соответственно, терять энергию. Поэтому он должен был упасть на протон. Правда, тогда учёные даже не задавались вопросом, а как долго будет излучать электрон под воздействием постоянного ускорения? Микросекунду? Секунду? Час? Год? Вечность? Даже не поставив в явной форме вопроса, они безмолвно приняли ответ «вечность». Нам трудно понять почему, но так случилось. Изучив данные о спектрах излучения и поглощения атомов водорода, проанализировав массу других данных, учёные пришли к выводу, что электрон в атоме водорода может двигаться не с любыми скоростями и не на любом расстоянии от протона, а лишь с определёнными скоростями и на определённых расстояниях. Эта идея известна как «постулаты Бора». Первый постулат Бора гласит, что электрон, движущийся по стационарным орбитам, не излучает электромагнитных волн и, следовательно, такое состояние атома устойчиво. Кроме того, этот постулат связывает радиус n-той орбиты и скорость движения электрона по орбите m0vrB = nh ( n =1,2,3...). Величину h именуют модифицированной постоянной

Планка h = 2hπ , а целое число n – номером орбиты или «главным квантовым числом».

Второй постулат касается излучаемых атомом частот: при переходе с орбиты на орбиту

пропорциональной разности энергий стационарных состояний электронной орбиты. Сейчас, понимая, что электрон под воздействием постоянного ускорения не может излучать вечно, мы перефразировали «излучательную проблему» модели Бора: почему электрон излучает, переходя с орбиты на орбиту, понятно – потому что деформируется, а вот почему квантованы радиусы орбит? На этот вопрос мы тоже попытаемся ответить, но чуть позже. Пока же отметим, что, несмотря на отсутствие объяснений, постулаты Бора дали возможность рассчитать атом водорода, прежде всего его энергетические уровни, и сравнить их со спектрами излучения. Высокая степень совпадения расчета с опытами впечатляет и по сей день, однако, как оказалось, более тонкие эксперименты выявили массу особенностей, которые модель Бора никак не предсказывала. Под давлением опытных данных от полуклассической модели Бора в итоге отказались (её трудно было развивать, так как она изначально мало что объясняла, базируясь на постулатах) и заменили ещё менее внятной и ещё более перегруженной постулатами квантовомеханической моделью, основанной на уравнении Шрёдингера. Все модели атома водорода традиционно проверяются по энергии связи электрона с протоном. А энергия вычисляется, конечно же, по тончайшим спектральным опытам. Следовательно, собирая

198

свою версию модели атома водорода, мы должны как минимум объяснить энергию связи. Понимая теперь, что энергия связи напрямую связана с дефектом массы в системе элементарных зарядов, мы можем сразу рассчитать дефект массы (т.е. дефект инерции), а из неё уже энергию.

Явление дефекта масс обнаружено для ядер атомов, существует ли дефект масс при присоединении к ядрам электронов, кажется, никто не изучал. Мы теперь понимаем, что дефект массы в ядрах возникает ровно по тому же механизму, по которому должен возникать дефект массы при образовании атомов. Просто «атомный дефект» на много порядков меньше по величине. Напомним, что (глава 5) явление дефекта массы объясняется как явление взаимоиндукции двух разноименных, близкорасположенных, ускоренно движущихся зарядов.

Рис. 11.1. Взаимоиндукция электрона и протона в атоме водорода при ускоренном прямолинейном движении атома, как целого

Для выяснения механизма образования дефекта масс нам необходимо принять некую модель строения атома водорода. Можно просто взять электрон и протон, отстоящие друг от друга на первый радиус Бора. В этом случае расчёты будут настолько просты, что читатель может легко проделать это самостоятельно. Но нам часто указывали, что электрон, дескать, движется и поэтому «размазан» по орбите и надо рассматривать размазанный, а не сосредоточенный электрон. Коль так, то мы рассмотрим именно такой «размазанный» электрон и покажем, что на результат это ни в малейшей степени не повлияет. Поскольку такая модель симметрична в любой плоскости, проходящей через центр системы (протон), то мы упростим модель до плоской, полагая электрон отрицательно заряженным тонким кольцом, а протон - сферическим зарядом в центре кольца. Радиус Бора rB на несколько порядков превышает как радиус протона, так и

радиус электрона (рис. 11.1).

Приняв указанную модель, рассмотрим, какие явления возникнут, если придать ускорение ar всей системе. Как мы уже отмечали в главе 5, в этом случае возникнут два рода явлений: во-первых, каждый компонент системы (протон и электрон) будут проявлять свойства самоиндукции, т.е. инерционной массы, а во-вторых, они будут

199

влиять друг на друга, то есть ускоряемый электрон будет оказывать особое силовое воздействие на протон и наоборот. Природа этого силового воздействия весьма проста: и протон и электрон, двигаясь равноускоренно, являют собой не только заряды, но и переменные токи, т.е. должны проявлять взаимоиндукцию.

В силу специфически выбранной геометрии (рис. 11.1) мы уже не можем рассматривать электрон как точечный заряд и вынуждены рассмотреть взаимодействие протона с каждым бесконечно малым элементом dq полного заряда электрона, а затем

проинтегрировать по кольцу.

Сила, которую будет оказывать элемент заряда dq на протон, будет определяться

через напряжённость электрического поля dE , создаваемого переменным магнитным полем dB ускоренно движущегося элемента dq :

(11.1) dF = qdE .

Поскольку dE - это напряжённость поля самоиндукции, которую мы научились считать в главе 4, то:

(11.2) dE = 12 rB dBdt ,

где rB - радиус Боровской орбиты, а dB есть магнитное поле, созданное меняющимся током, который является ускоренно движущимся элементом заряда dq . Соответствующая

математика разработана Био, Саваром и Лапласом для магнитного поля элемента тока, однако в нашем случае есть отличие. Элемент dl не сонаправлен с током, а образует с ним некий угол 90 −α . Отметим, что угол α образуют также радиус, проведенный от элемента заряда dq к протону и направление действия ускорения a (рис. 11.1).

Такая конфигурация элемента заряда и направления тока приводит к тому, что вместо длины dl элемента тока dI следует рассматривать его проекцию на направление действия ускорения a . Кроме того, поскольку весь заряд электрона q размещён на кольце

радиуса rB , то элемент заряда dq может быть выражен через элемент длины dl как:

(11.3) dq = 2πqrB dl .

Таким образом, для элемента тока dI можем записать:

(11.4) dI = Idl = 2πqr B v dl sinα ,

где v - скорость движения элемента заряда вдоль направления ускорения.

Для такого элемента тока формула Био-Савара-Лапласа даёт выражение для его магнитного поля в месте нахождения протона:

Определим теперь производную магнитного поля элемента тока по времени для подстановки в выражение (11.2):

200

Подставив результат в выражение (11.2), получим:

Подставив dE в выражение для силы (11.1), получим:

(11.8) dF = qdE = μ0q2dl2 sin2 α a . 16π 2rB

Далее мы должны проинтегрировать все dF для всех возможных положений элементов dl . Чтобы перейти к интегрированию по углу, выразим dl через малый угол dα :

(11.9) dl = rB sin dα = rB dα ,

так как синус бесконечно малого угла равен самому углу. Таким образом, полная сила, действующая со стороны электрона-кольца на расположенный в центре точечный протон будет представлять собой интеграл элементарных сил dF по всем углам α от нуля до

2π :

Теперь вспомним, что не только электрон воздействует на протон, но и протон оказывает ровно такое же воздействие на электрон, причём силы эти сонаправлены. Следовательно, полученный результат (11.10) следует удвоить для получения полного значения «дефекта силы»:

(11.11) F = 2F = μ0 q2 ar.

полн 8πrB

Нетрудно проверить, что полученная нами Fполн противонаправлена силе инерции.

Таким образом, реакция на ускорение для системы электрон-протон оказывается меньше (чем простая сумма реакций протона и электрона) на величину (11.11), что воспринимается, как «дефект массы».

(11.12) m = μ0 q2 .

8πrB

Замечательно то, что выражение для дефекта массы (11.12) имеет ровно тот же самый вид, что и выражение для самой массы элементарных частиц (5.18), только вместо радиуса частицы в выражение входит расстояние между частицами. Если через эту массу выразить энергию, пользуясь соотношением Эйнштейна, то получим:

201