Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 курс / Численные методы / KurgDubrKurk_ChislMet_part2_1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

178.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

(d - c)

f (x)dx =

[y0 + y1

] +

[y1 + y2 ] + . . . +

[ym-1 + ym ] -

f ¢¢(x) =

(17)

d - c

- c) 3

+ 2y + 2y

. . . + 2y

m-1

+ y

] -

f ¢¢(x)

12m2

Эта формула называется обобщенной

формулой трапеций.

Возьмем теперь n = 3. В этом случае

y=f( x )

узлами интерполирования будут являться

точки c,

c + d

d . Интерполяционный

многочлен будет иметь вторую степень.

Выражаясь геометрически, мы проводим

( c+d) /2

параболу через конечные и среднюю точку

кривой (рис.5). В этом случае

Рис. 5

d - c

c + d

(d - c)5 f IV (x)

ò f (x)dx =

[ f (c) +

4 f (

) + f (d )]

(18)

Это формула Симпсона. Она также может быть применена не ко всему отрезку сразу, а с его предварительным разбиением. Если разбить [c, d ] на 2m равных отрезков, то получим

d - c

f (x)dx =

[y0

+ 4y1

+ y2 ] +

[y2 + 4y3 + y4 ] + . . . +

d - c

[y2m-2

+ 4y2m-1

+ y2m

æ d - cö 5

f IV (x)

] - ç

(19)

90m4

2 ø

d - c

[y0

+ 4y1

+ 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . + 4y2m-1 + y2m

æ d - cö 5

f IV (x)

] - ç

90m4

è 2

Это - обобщенная формула Симпсона. Ее коэффициенты немногим сложнее коэффициентов формулы трапеций, но точность существенно выше.

Квадратурные формулы Гаусса

Формулы Ньютона-Котеса, описанные выше, получены путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом с равноотстоящими узлами интерполирования. Можно ожидать, что, избавившись от последнего требования, можно получить формулы, обладающие определенными преимуществами. В этом параграфе мы приведем формулы, дающие наибольшую точность численного интегрирования.

Прежде всего необходимо условиться, что следует понимать под точностью формулы численного интегрирования. При замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по n узлам интерполяции, мы

получим такую формулу численного интегрирования, для которой остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция сама является произвольным многочленом степени не выше n - 1. Более того, в случае формул Ньютона-Котеса с нечетным числом узлов n остаточный член обращается в нуль даже если подынтегральная функция является произвольным многочленом степени n . Может оказаться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень ещё может быть повышена. При использовании одинакового числа узлов n будем считать ту формулу численного интегрирования более точной, для которой эта степень будет больше.

Поставим следующий вопрос. Допустим, мы можем выбрать n узлов интерполяции. Произвольный многочлен какой максимальной степени m можно проинтегрировать абсолютно точно?

Квадратурные формулы численного интегрирования в самом общем случае имеют вид

ò f ( x) p( x)dx = C1 f (x1 ) + C2 f ( x2 ) + . . . + Cn f (xn ) + R( f )

(20)

Здесь p( x) > 0 - фиксированная весовая функция; x1 , x2 , ..., xn - узлы интерполяции, в которых f (x) известна; Ci - постоянные коэффициенты, не зависящие от f (x) ; R( f ) - остаточный член. Построить формулу численного интегрирования - значит, выбрать xi и определить Ci .

Мы хотим, чтобы остаточный член в (20) обращался нуль для произвольного

многочлена максимально возможной степени m, т.е.
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + am x m ,	(21)

где коэффициенты ai произвольны. Из условия R( f ) = 0 можно получить, что максимальное значение m при этом будет определяться равенством m + 1 = 2n или m = 2n - 1. Ответ на вопрос о том, что нужно сделать, чтобы построить квадратурные формулы, для которых m = 2n - 1, т.е. обладающие наивысшей точностью в нашем понимании, дает следующая теорема.

· Теорема (без доказательства). Для того, чтобы остаточный член формулы численного интегрирования R( f ) обратился в нуль для функции f (x) , являющейся произвольным многочленом степени не выше 2n - 1, необходимо и достаточно в качестве узлов интерполирования взять корни многочлена w n (x) степени n , такого, что

ò p(x)w n (x)q(x)dx = 0,	(22)
c

когда q(x) - произвольный многочлен степени не выше n - 1.

Эта теорема не указывает способа построения w n (x) . Однако, такие способы существуют при произвольных p(x) . Приведем без вывода общий вид w n (x) для

наиболее важного случая p(x) = 1, т.е. для интегралов вида ò f ( x)dx :

			c
w n (x) =	n!	d n	[(x - c)n (x - d )n ]	(23)
w n (x) =		n	[(x - c)n (x - d )n ]	(23)
	(2n)! dx

Можно доказать, что все корни уравнения w n (x) = 0 действительны, различны и заключены в интервале [c, d ]. Таким образом, их можно использовать в качестве узлов интерполяции, и полученная при этом формула численного интегрирования будет удовлетворять поставленным условиям, т.е. при фиксированном числе узлов n она позволит проинтегрировать абсолютно точно произвольный алгебраический многочлен максимально высокой степени m = 2n - 1.

После того, как определены узлы интерполяции, необходимо найти коэффициенты квадратурных формул при f (xi ) . Приведём их также без вывода и для случая p(x) = 1:

Ck	=		(n!) 4 (d - c)2n+1								(24)
		[(2n)!]2 (x		k	- c)(d - x	k	)w ¢ 2	(x	k	)
							n

Отметим, что все коэффициенты Ck положительны, кроме того они симметричны относительно середины отрезка интегрирования [c, d ], т.е.

Ck = Cn-k +1

(25)

Было бы невыгодно каждый раз, когда нужно использовать формулу Гаусса на новом отрезке, заново находить w n (x) , вычислять корни уравнения w n (x) = 0 и подсчитывать коэффициенты Ck . Произвольный отрезок [c, d ] может быть приведён к отрезку [-1, 1] простой заменой переменной интегрирования:

x =	c + d	+	d - c	t	(26)

2		2

Тогда

d		d - c	1
ò	f (x)dx =		ò	f1	(t)dt ,	(27)
ò	f (x)dx =	2	ò	f1	(t)dt ,	(27)
c			-1

т.е. достаточно рассмотреть лишь отрезок [-1, 1] . Для этого отрезка и случая

p(x) = 1 узлы xi и коэффициенты Ci были вычислены для различных n . Приведем некоторые значения коэффициентов Ci и абсцисс xi для формул численного интегрирования Гаусса:

1	n	22n+1 (n!) 4

ò f (t )dt = å Ci f (ti ) +				f t2n (x),	(28)
		[(2n)!]3
-1	i=1		(2n + 1)

d - c

æ c

+ d

d - c

ò f (x)dx =

åCi f

ti ÷

i=1

(29)

æ d - cö 2n+1

22n+1 (n!) 4

f x2n (x),

ti Î[-1, 1]

+ç

[(2n)!]3 (2n + 1)

2 ø

Таблица 3. Абсциссы и коэффициенты квадратурных формул Гаусса для различных n

n=1

x1 = 0,

C1 = 1

n=2

-x1 = x2

= 0.5773502691896258,

-x1 = x3 = 0.7745966692414834,

n=3

= 0,

n=4

-x1 = x4 = 0.8611363115940492,

= 01739274225687284.,

-x2

= x3 = 0.3399810435848646,

C3 = 0.3260725774312716

n=5

-x1

=x5 =0.9061798459386640,

= 01184634425280945.,

-x

= x

= 0.5384693101056830,

= 0.2393143352496832,

x3 = 0,

C3 = 0.2844444444444444

n=6

-x1 = x6 = 0.9324695142031520,

= 0.0856622461895852,

-x

=0.6612093864662644,

= 01803807865240693.,

-x3 = x4 = 0.2386191860831970,

C4 = 0.2339569672863455

n=7

-x1 = x7 = 0.9491079123427596,

C7 = 0.0647424830844348,

-x2

= x6 = 0.7415311895993944,

C2 =

C6 = 0.1398526957446384,

-x

= x

= 0.4058451513773970,

= 0.1909150252525595,

= 0,

= 0.2089795918367347

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Численные методы

#
21.05.201512.08 Mб48bahvalov_.pdf
#
21.05.2015178.39 Кб56KurgDubrKurk_ChislMet_part2_1.pdf
#
21.05.2015167.44 Кб62KurgDubrKurk_ChislMet_part2_2.pdf
#
21.05.2015183.93 Кб49KurgDubrKurk_ChislMet_part3.pdf