2 курс / Численные методы / KurgDubrKurk_ChislMet_part3

2

5.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Кчисленным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Для решения всех этих задач применяются различные

модификации одних и тех же методов. Поэтому здесь мы рассматриваем главным образом лишь первую из перечисленных выше задач.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разбивают на две группы. К первой группе принадлежат так называемые точные или прямые методы – алгоритмы, позволяющие получить точное в математическом смысле решение системы за конечное число арифметических действий. Сюда

относится известное правило Крамера нахождения решения с помощь определителей, метод прогонки, рассмотренный выше, а также методы Гаусса и квадратного корня, которые будут рассмотрены ниже. Сразу же отметим, что правило Крамера в практических расчетах невыгодно, так как требует слишком большого количества операций.

Вторую группу методов составляют методы последовател приближений, в которых абсолютно точное решение системы за конечное число действий в принципе получить невозможно. Однако его можно найти с любой наперед заданной точностью. Эти методы характеризуются тем, что с самого начала задаются какими-то приближенными значениями неизвестных. Из этих

b и x соответственно заданный вектор свободных членов и вектор неизвестных

5

формально непригодна. Возможен также более неприятный случай, когда ведущий элемент не нулевой, но очень мал по модулю по сравнению с другими элементами строки. Тогда при делении на это малое число получаются очень большие числа. Это приводит к значительному росту погрешности округлений. Как следствие, точность результата становится очень ,плохойдаже катастрофически плохой.

Изложим теперь схему метода Гаусса, свободную от этих недостатков.

Она называется схемой с выбором главного элемента и в алгоритмическом плане незначительно отличается от предыдущей.

Пусть, как и прежде, дана система линейных алгебраических уравнений

Для этого отыскиваем максимальный по модулю элемент матрицыA и при необходимости переставляем два уравнения и два столбца исходной системы.

называется первым главным элементом. После этого выполняем как обычно

иповторяем процедуру.

Вэтом случае также можно вычислить определитель исходной матрицы A . Из линейной алгебры известно, что при перестановке двух строк или

столбцов матрицы определитель меняет знак. Поэтому в полученную формулу для определителя необходимо добавить множитель (-1)n , где n - полное число

перестановок строк и столбцов на всех этапах приведения матрицы треугольному виду. В результате формула для определителя приобретает вид

det A = (-1)n a11a221 a332 K annn-1 .

Может случиться, что система вырождена, т.е. ее определитель det A = 0. Это приведет к тому, что на некотором шаге главный элемент окажется равным нулю (т.е. равны нулю и все элементы ниже него). Поэтому на каждом шаге нужно контролировать обращение в нуль главного .элементаРешение вырожденных систем рассматривалось в курсе линейной алгебры и здесь мы рассматривать этот вопрос не будем.

5.2. Метод квадратного корня

Наиболее часто описываемый метод применяют именно в этом случае. Если же для некоторой строки окажетсяlii < 0, то последующие элементы окажут-ся комплексными. Однако, метод формально применим и в этом случае.

После того, как матрица L определена, переходим ко второму этапу решения. Запишем теперь исходную систему в виде

LT Lx = b .

Так как обе системы обладают треугольными матрицами, то они решаются без труда. Действительно, из первой системы последовательно находим

Схема квадратного корня очень удобна и требует небольшого количества операций умножения и деления. При практическом применении этого метода прямым ходом последовательно вычисляютсяlij и yi (в едином цикле по

строкам), а затем обратным ходом определяются неизвестные xi .

5.3. Метод простой итерации

Для применения рассматриваемых ниже итерационных методов решения систему линейных алгебраических уравнений, обычно имеющую вид

Ax = b ,

сначала нужно привести к форме

x = Dx + c ,

разделим на диагональный элементaii и перенесем все слагаемые, кроме содержащего xi , из левой части в правую, после чего оно примет вид

9

Для того, чтобы этот способ был осуществим, диагональные коэффициенты aii должны быть отличны от нуля. Кроме того, как мы увидим ниже, для обеспечения сходимости методов требуется значительное преобладани диагональных элементов над остальными коэффициентами.

Итак, будем считать, что система линейных алгебраических уравнений приведена к требуемому виду. Метод простой итерации заключается в

следующем. Выбирается произвольный вектор x 0 (начальное приближение), после чего строится итерационная последовательность векторов

Оказывается, что при выполнении определенных условий итерационная

алгебры нормы векторов и матриц. На практике чаще всего используются следующие нормы векторов:

имеет единственное решение при любом векторе свободных членовc и итерационный процесс

при любом начальном векторе x 0 сходится к решению системы со скоростью геометрической прогрессии.

Доказательство. Пусть x * - решение системы, т.е. x * = Dx * + c .

Отсюда с помощью неравенства треугольника получаем