ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Постановка задачи
Если для функции f (x) , определенно на отрезке [c, d ], можно найти первообразную F (x) , то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница
d
ò f (x)dx = F (d ) - F (c) |
(1) |
c |
|
Но, как правило, найти первообразную через элементарные функции не удается. Кроме того, f (x) может быть задана и таблично. Поэтому приходится прибегать к приближенному вычислению интеграла.
На практике поступают следующим образом. Изложим общую идею, несколько обобщив постановку задачи, введя еще и весовую функцию. Пусть требуется вычислить определенный интеграл
d
|
ò f (x) p(x)dx |
|
(2) |
|
c |
|
|
Здесь p(x) - некоторая фиксированная функция (для различных f (x) ), |
|
||
удовлетворяющая условию p(x) > 0 на [c, d ]. Ее называют весовой функцией. Для |
|
||
функции f (x) на отрезке [c, d ] построим интерполяционный многочлен, т.е. |
|
||
запишем ее в виде |
|
|
|
|
f (x) = j(x) + R(x) , |
(3) |
|
где j(x) - инетерполяционный многочлен, а R(x) - остаточный член. Тогда |
|
||
d |
d |
d |
|
ò f (x) p(x)dx = òj(x) p(x)dx + ò R(x) p(x)dx |
(4) |
||
c |
c |
c |
|
Первый член справа дает формулу численного интегрирования, т.е. считаем, что |
|
||
d |
d |
|
|
ò f (x) p(x)dx » òj(x) p(x)dx , |
(5) |
||
c |
c |
|
|
а второй - остаточный член, т.е. погрешность метода. Интерполяционный многочлен можно представить в виде
|
j (x) = f (x0 )l0 (x) + f (x1 )l1 (x) + . . . |
+ f (xn )ln (x) |
(6) |
Здесь li (x) - некоторые полиномы, не зависящие от функции f . Тогда |
|
||
d |
d |
d |
|
ò f (x) p(x)dx = f (x0 )ò l0 (x) p(x)dx + . . . |
+ f (xn )ò ln (x) p(x)dx |
(7) |
|
c |
c |
c |
|
Будем считать, что интегралы
d
ò li (x) p(x)dx º Ci |
(8) |
c |
|
мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции f (x) . Поэтому их можно вычислить один раз, затабулировать и использовать для вычисления интегралов при произвольных функциях f .
Сама формула численного интегрирования принимает вид
d |
n |
|
ò f ( x) p( x)dx = C0 f ( x0 ) + C1 f (x1 ) + . . . |
+ Cn f ( xn ) = å Ci f ( xi ) |
(9) |
c |
i=0 |
|
Такие формулы называются квадратурными. Конкретные формулы численного интегрирования получают различным выбором интерполяционных функций и узлов интерполяции.
Формулы Ньютона-Котеса
Эти формулы получаются путем замены подынтегрального выражения интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими промежуток интегрирования на равные части.
Пусть узлы интерполирования расположены таким образом
xi = a + ih |
(i = |
Здесь возможны два варианта расположения узлов.
1,2, ... , n) . (10)
1) |
a совпадает с c . Тогда d = a + (n + 1)h . |
|
||||||||||||
|
|
a |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
1 |
2 |
|
3 |
d |
|
||||||
2) |
a + h = c . Тогда d = a + nh . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
h |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
c |
|
|
|
d |
|
||||||
|
|
В первом случае узлы инетрполирования не содержат точек c и d , отрезок |
|
|||||||||||
интегрирования разбивается на (n + 1) |
равных частей и h = |
d - c |
. Во втором случае |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|||
концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования, |
|
|||||||||||||
промежуток интегрирования разбивается на (n -1) равных частей и h = |
d - c |
. |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n - 1 |
|
|
Формулы численного интегрирования, которые получаются в первом случае, |
|
|||||||||||||
называются формулами открытого типа, а во втором случае - замкнутого типа. |
|
|||||||||||||
|
|
Чтобы не проводить одни и те же рассуждения дважды, положим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
c = a + (1 - k )h , d = a + (n + k )h , |
(11) |
|||||||
d - c |
|
h = n - 1 + 2k |
(12) |
Нетрудно видеть, что для формул открытого типа k = 1, для формул замкнутого типа k = 0 .
Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа, построенным по узлам (10), окончательно получим
|
|
|
d |
n |
|
|
|
|
|
|
|
ò f ( x)dx = (d - c)åIin,k f (a + ih) , |
(13) |
||||
|
|
|
c |
i=1 |
|
|||
где через Iin,k обозначены выражения |
|
|
|
|
||||
Iin,k |
= |
|
(-1) n-i |
|
n+k |
(z - 1)(z - 2)...(z - n) |
dz |
(14) |
(n - 1 |
+ 2k )(i - 1)!(n - i)! |
ò |
|
|||||
|
|
z - i |
|
|||||
|
|
|
|
|
1-k |
|
|
|
Они не зависят от f (x) , т.е. от функции, для которой вычисляется интеграл. Не зависят они также от промежутка интегрирования, а потому могут быть вычислены раз и навсегда. Зависят они лишь от
1)k , т.е. от того, формулы какого типа - открытого или замкнутого применяются;
2)n , т.е. от числа интерполяционных узлов на промежутке интегрирования;
3)i , т.е. от номера узла интерполяции (коэффициенты, естественно, получаются различными для различных интерполяционных узлов).
Для конкретных k , n и i эти коэффициенты могут быть получены аналитически. Они являются рациональными дробями, т.к. под интегралом - многочлен с рациональными коэффициентами, и пределы интегрирования - рациональные. Кроме того, вычисления облегчаются благодаря тому, что
Iin,k = I nn+1-i,k |
(15) |
т.е. равноотстоящие от концов коэффициенты формулы Ньютона-Котеса равны. Существуют таблицы коэффициентов. Каждый из этих коэффициентов
является рациональной дробью. Для сокращения таблиц знаменатели этих дробей при фиксированном n взяты одинаковыми и указаны в последнем столбце. В остальных колонках - числители.
Таблица 1. k = 0 (формулы замкнутого типа)
n |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Знамена- |
|
тели |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
6 |
4 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
8 |
5 |
|
7 |
32 |
12 |
|
|
|
90 |
6 |
|
19 |
75 |
50 |
|
|
|
288 |
7 |
|
41 |
216 |
27 |
272 |
|
|
840 |
8 |
|
751 |
3577 |
1323 |
2989 |
|
|
17280 |
9 |
989 |
5888 |
-928 |
10496 |
-4540 |
|
28350 |
10 |
2857 |
15741 |
1080 |
19344 |
5778 |
|
89600 |
11 |
16067 |
106300 |
-48525 |
272400 |
-260550 |
427368 |
598752 |
Отметим, что формулы замкнутого типа имеют преимущество перед формулами открытого типа в смысле точности. Лучше также формулы с нечетным n .
Таблица 2. k=1 (формулы открытого типа)
n |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Знамена- |
|
тели |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
-1 |
|
|
|
3 |
4 |
|
11 |
1 |
|
|
|
24 |
5 |
|
11 |
-14 |
26 |
|
|
20 |
6 |
|
611 |
-453 |
562 |
|
|
1440 |
7 |
|
460 |
-954 |
2196 |
-2459 |
|
945 |
8 |
|
1787 |
-2803 |
4967 |
-1711 |
|
4480 |
9 |
|
4045 |
-11690 |
33340 |
-55070 |
67822 |
9072 |
10 |
|
2752447 |
-6603199 |
-15673880 |
-17085616 |
8891258 |
7257600 |
Рассмотрим более подробно формулы замкнутого типа при n = 2 и n = 3 ввиду важности этих случаев. При n = 2 два узла интерполяции x1 = c и x2 = d , и
|
y |
|
|
|
|
|
|
интерполяционный многочлен имеет первую |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
степень. Переходя на геометрический язык, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мы заменяем кривую y = f (x) хордой, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
соединяющей конечные точки кривой (рис.4). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл от интерполяционного многочлена |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дает площадь трапеции. Поэтому |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующая формула называется |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой трапеций. Площадь трапеции |
|
||||
|
|
c |
d |
x |
|
||||||||
|
|
равна |
d - c |
[ f (c) + f (d )]. Эту формулу |
|
||||||||
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
можно получить и из общей формулы и таблицы. Таким образом, |
|
||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
d - c |
|
|
(d - c) 3 |
|
|||
ò |
f (x)dx = |
|
|
[ f (c) + f (d )] - |
|
|
f ¢¢(x) |
(16) |
|||||
2 |
|
12 |
|||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность этой формулы велика. Ее можно снизить, если применять формулу трапеций не сразу ко всему отрезку, а разбить его сначала на части, и к каждой части применить формулу трапеций. В частности, если разбить [c, d ] на m
равных отрезков длины h = d - c и обозначить через y0 , y1 , ... , ym последовательные m
ординаты, то получим