Пример

Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра 90Zr для прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.

В прямоугольной яме энергии уровней с l = 0

определяются соотношением En = (2nmRπ)22 ,

n — главное квантовое число, m — масса нуклона и R — радиус ядра (ширина ямы). Величина

расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет

≈5×7,3 МэВ= 36,5 МэВ.

Вяме гармонического осциллятора выражение для

Частицавполе

сцентральнойсимметрией

Стационарное уравнение Шредингера частицы в сферически симметричном потенциальном поле U(r)

+U(r)ψ =Eψ.

Волновая функция ψ(r,θ,ϕ) может быть представлена как произведение радиальной функции Rnl (r) и угловой

функции Ylm (θ,ϕ)

ψ(r,θ,ϕ) = Rnl (r)Ylm (θ,ϕ)

Уравнения для нахождения собственных значений и собственных функций угловой и радиальной функций.

Орбитальный момент L Проекцияорбитального момента Lz

Орбитальныймоментколичества

Они имеют следующие дискретные значения

Сферические функции (их называют также сферическими гармониками) Ylm (θ ,ϕ)

орбитального момента и его проекции на ось z . Сферические функции Ylm (θ ,ϕ) имеют

вид

Pl m (cosθ ) − функция Лежандра.

Орбитальныймоментколичества движения (2)

Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L дается соотношением

L = l(l +1) .

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь

L = l(l +1) .

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества

движения

L = 2(2 +1) = 6.58 10−22 6 МэВ с ≈ 2.6 10−34 Дж с.

Сферические функции

Сферические функции Ylm (θ , ϕ) удовлетворяют

уравнению

l = 0, 1, 2, …; m = l, l−1, …, −l.

Возможные значения орбитального квантового числа l

связаны со свойствами полинома Лежандра. Решение уравнения (*) существует только в том случае, когда

орбитальное квантовое число l имеет целочисленное

значение, включая 0. При этом оно должно быть больше абсолютного значения m или равно ему.

Орбитальныймоментколичества

движения

Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения

квантуется, то и направление L по отношению к выделенному направлению z , например, к

внешнему магнитному полю, также квантуется (это называют пространственным квантованием) и принимает дискретные значения Lz = m, где m

изменяется от +l до −l , т. е. имеет 2l +1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, –1, –2. Энергия системы не

зависит от величины проекции орбитального

момента m, т. е. от направления вектора L , что

является очевидным следствием сферической симметрии системы.

Квантовыечислаорбитального

моментаиегопроекции

Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии диктует возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что

система, описываемая функцией eimϕ ,

примет исходное значение только тогда, когда азимутальный угол ϕ в результате поворота вокруг оси z примет исходное

значение ϕ. Этому условию функция eimϕ

удовлетворяет только в случае, когда величина mϕ кратна 2π . Т.е. величина m

должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух

свойствами полинома Лежандра. Решение уравнения существует только в том случае, когда l целое число, включая 0.

При этом оно должно быть больше абсолютного значения m или равно ему.

Угловоераспределение вероятности

Распределение угловой вероятности Ylm (θ,ϕ) 2 dΩ

нахождения частицы в s-, p- и d-состояниях в сферически симметричном потенциале

Угловоераспределение

вероятности

Для s-состояний угловая компонента волновой функции обладает сферической симметрией.

Для p-состояний (l=1) и

d-состояний (l=2) значения волновой функции в разных направлениях различны и зависят от абсолютного значения квантового числа m.

Радиальное квантовоечисло n

ψ(r,θ,ϕ) =Rnl (r)Ylm(θ,ϕ)

Радиальное квантовое число n описывает

поведение радиальной волновой функции Rnl (r) , определяющей энергию частицы в

заданном потенциале. Характер радиальной функции в первую очередь зависит от числа ее узлов, т. е. числа прохождения через нуль в интервале r от

нуля до бесконечности. Rnl (r) в случае

связанных (пространственно ограниченных) состояний асимптотически обращается в нуль на бесконечности. Обычно n считают равным числу узлов

функции Rnl (r) , в области r > 0, т. е.

исключают при их подсчете узел в начале координат, но при этом учитывают обязательный узел на бесконечности. Число n в формуле, описывающей

состояния частицы в прямоугольной яме, имеет тот же смысл.

Распределение полнойвероятности

Распределение полной вероятности

|Rnl (r) Ylm (θ,ϕ) |2r2drdΩ нахождения электрона в

атоме водорода, определяемое угловой и радиальной плотностью вероятности.

При переходе от атомов к молекулам квантовые свойства образующихся структур сохраняются. Химические и физические свойства молекул определяются относительно слабо связанными внешними электронами атомов, образующих молекулы. Равновесная пространственная конфигурация молекулы определяется минимумом потенциальной энергии взаимодействующих атомов. Равновесная конфигурация молекулы может обладать определённой симметрией, характеризуемой, например, наличием центра симметрии, плоскостей симметрии, осей симметрии и других типов симметрии.

Частицывполе сцентральной симметрией

ψ(r,θ,ϕ) = Rnl (r)Ylm (θ,ϕ)

Вполе с центральной симметрией сохраняются:

E – энергия,

2l(l +1) - квадрат орбитального момента

m - проекция орбитального момента

E, l, m.

Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m При этом предполагается, что частица не имеет внутреннего углового момента, то есть спин S частицы равен 0.

n =1,2,3...

l = 0,1,2,3...

m = 0,±1,±2... ± l

Спин

Спиновое квантовое число s может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы он может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезона и К-мезона равны 0.

Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая

характеристика. Проекция sz вектора спина S на

любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

Максимальная величина sz совпадает с s. Так как

спин электрона равен 1/2, то проекция спина

может принимать лишь два значения sz = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция −1/2, то говорят, что спин

направлен вниз.

Полныймомент количествадвижения (1)

В классической физике полный момент количества движения частицы или системы частиц является непрерывной величиной. Полный момент количества движения является вектором, и должен быть задан тремя его проекциями Jx, Jy, Jz. Полный момент количества движения частицы складывается из его орбитального момента

L =r ×p и спинового момента S :

Вквантовой теории ситуация аналогичная. Полный момент количества движения также описывается соотношением, аналогичным (*), в котором величины J, L и S заменены на операторы полного момента Jˆ , орбитального момента Lˆ и спинового момента Sˆ .

Всоответствии с общими правилами для квантовых векторов проекция полного момента на выделенную ось (z) может

+1 значение:

jz = ± j , ±( j −1) , ±( j − 2) , ..., ±1 / 2 (или 0)

Квантовые вектора (соответствующие им квантовые числа l, s и j) не могут принимать непрерывный ряд значений, а всегда обязаны быть либо целыми (возможен и нуль), либо полуцелыми числами.

Полныймомент количествадвижения (1)

Следствием этого является правило сложения квантовых векторов

|l − s| ≤ j ≤ l + s,

Левая часть этого неравенства соответствует минимальному значению вектора , когда вектора l и s направлены в противоположные стороны.

Правая часть неравенства отвечает максимальному , когда l и s направлены в одну

сторону. С учетом требований пространственного квантования все возможные j заключены в интервале от |l − s| до l + s и изменяются в пределах

этого интервала с шагом 1.

Из соотношения (**) вытекает очевидное следствие: если спин частицы целый (или нуль), то полный момент j также целый (или нуль); если же спин полуцелый, то полный момент обязательно полуцелый.

Пример

Сложениеспиновогои орбитального моментов

J = l + s

Пример

Сложениемоментов

J = J1 + J2

J1 + J2 ≥ J ≥| J1 − J2 |

J1 = 2 J2 = 3

J =1, 2,3, 4,5.

Квантовыесостояния

ψ(x, y, z) = Rnl (r)Ylm (θ,ϕ)

| nlj >

n - номер состояния с данным l l - орбитальный момент

j - полный момент j = l + s s - спин

jn определяет уровни энергии связанных состояний частицы.

АтомБора… Квантоваятеория

В 1913 году Н. Бор предложил квантовую теорию орбит. Согласно этой теории электрон может вращаться вокруг ядра неопределенно долго, не излучая энергию, если на его орбите укладывается целое число длин волн де Бройля. Таким образом, устойчивые орбиты в атоме это орбиты,

Атом может перейти из одного состояния в другое, испустив квант энергии — фотон

ω = Ei − Ek

где Ei и Ek – энергии уровней, между которыми происходит переход.

Модель Бора не объясняла, почему, находясь на устойчивой орбите, электрон не излучает энергию? Почему переходы происходят именно между этими дискретными уровнями? И на ряд других вопросов.

Атомводорода

Атом водорода — связанное состояние протона и электрона.

Vкулон =−e2

r

Низший уровень n=1 соответствует основному состоянию. Чем больше n, тем дальше от ядра находится электрон и тем выше энергия уровня. Энергия состояния n=1, взятая с обратным знаком, представляет собой энергию ионизации – энергию, необходимую для отрыва от ядра электрона, находящегося в основном состоянии.

Атомводорода

Схемауровнейатомаводорода

а– без учёта спина электрона и спина ядра,

б– тонкое расщепление уровней,

возникающее при учёте спина электрона, лембовское смещение уровней

2s1/2 – 2p1/2 составляет около 4*10-6 эВ,

а б в

в - сверхтонкое расщепление уровней, возникающее при учёте спина протона

Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе.

Атомводорода

Квантовые числа n (или N), l и m полностью характеризуют состояние электрона в атоме водорода, в рассмотренной нами упрощенной модели. Состояние с N

= 1 называется основным

состоянием атома водорода, так как в этом состоянии система обладает наименьшей энергией, и пребывает бòльшую часть времени. В атоме водорода энергия основного состояния E1 = −13.6 эВ. Состояния с N = 2, 3, … называются

возбужденными состояниями.

Энергия возбуждения Eвозб − это

энергия, которую необходимо сообщить системе, чтобы она перешла из начального состояния Ni в конечное состояние N f ,

определяется из соотношения

Пример.

Определить величину J полного

момента количества движения электрона в состоянии 2p (N = 2, l = 1).

2p− электрон имеет

•Орбитальный момент l = 1. Величина орбитального момента

L = l(l +1) = 2

•Спиновый момент s = 1/2. Величина спинового момента

•Полный момент j = l + s = 1+ 1/2 = 3/2

или j = l − s = 1− 1/2 = 1/2.

Величина полного момента:

или

Пример.

Рассчитать энергию перехода E между уровнями N=2 и N=3 (серия

Бальмера) в атоме водорода.

Пример.

Рассчитать величину тонкого расщепления уровней 3p1/2, 3p3/2.

Величину тонкого расщепления уровней Е получим из соотношения:

Для уровней 3p1/2, 3p3/2 ,N=3, J=1/2

Е = 1.3 10−5 эВ.