Мет выч методичка

состоит в алгоритме их построения.

3.3 Точность интерполяции

Значения интерполяционного многочлена y = '(x) и рассматрива-

емой функции y = f(x) в узлах x = xi, (i = 0; 1; :::; n) в точности совпадают. Если исследуемая функция многочлен степени n, то

f(x) '(x). В остальных случаях разность

R(x) = f(x) '(x) 6= 0

Очевидно, что R(x) есть погрешность интерполяции и носит название остаточный член интерполяционной формулы. Можно показать, что остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид

41

В этой формуле f(n+1)(x0) – производная (n+1) - го порядка функции f(x) в некоторой точке x0 2 [x0; xn]. Из анализа (45) следует, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка [x0; xn]. Если же использовать интерполяционный многочлен вне отрезка [x0; xn], то погрешность возрастает очень заметно.

Остаточный член интерполяцинного многочлена Ньютона для слу-

Из вида остаточного члена следует, что повышение степени интерполяционного многочлена уменьшает погрешность, однако из-за неясного поведения f(n+1)(x) возможны проблемы. Поэтому на практике для повышения точности целесообразно уменьшать шаг и выбирать специальное расположение узлов (например, сгущая их к концам отрезка). При этом как правило стараются использовать много-

42

члены малой степени.

3.4 Сплайны

В настоящее время для интерполяции широко используются кубические сплайн-функции (сплайны), представляющие собой специальным образом построенные многочлены третьей степени. Они представляют собой математическую модель гибкого тонкого стержня, закрепленного между узлам интерполяции при условии минимума его потенциальной энергии. Общий вид сплайна:

на отрезке xi 1 6 x 6 xi. Неизвестных коэффициентов ai; bi; ci; di возникает 4n штук, и для их нахождения надо столько же уравнений. Условия прохождения графика Si через узлы

Si(xi 1) = yi 1; Si(xi) = yi; i = 1; 2; :::; n

43

дают 2n уравнений. Еще 2n 2 возникают из условий непрерывности первых и вторых производных во внутренних узлах интерполяции:

И последние два уравнения получают из условия закрепления концов сплайна

причем k1 и k2 определяют угол наклона сплайна в точках закрепления, а m1 и m2 – кривизну в точках закрепления. При свободном закреплении

m1 = m2 = 0

и полученная таким образом функция называется свободным кубическим сплайном.

44

4 Численное дифференцирование

Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при x ! 0:

В случае если функция задана в виде таблицы, для вычисления

Эта формула называется аппроксимацией производной с помощью конечных разностей.

С помощью левых разностей производная может быть записана

45

Для вычисления производных могут использоваться интерполяционные формулы. Например, в случае интерполяционного многочлена

ления производной функции. Также можно для этих целей воспользоваться многочленом Лагранжа.

46

5 Численное интегрирование

Пусть на отрезке [a; b] задана функция y = f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков [xi 1; xi] (i = 1; 2; :::; n). На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку i и составим сумму произведений значения функции f( i) на длину отрезка xi:

i=1

Sn – интегральная сумма.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения, так что длина наибольшего отрезка стремится к нулю:

47

Во многих случаях, если подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл вычисляется непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница:

b

Z

a

Но реально воспользоваться этой формулой получается не всегда. Основные причины:

вид функции f(x) не позволяет выразить первообразную в элементарных функциях

аналитический вид функции f(x) неизвестен, известны значения функции в фиксированных точках. В этих случаях используются приближенные методы интегрирования и, прежде всего, численные. Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократно-

48

го интеграла называют квадратурой, двойного кубатурой.

В случае однократного интеграла подынтегральную функцию f(x) заменяют на рассматриваемом отрезке [a; b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией '(x), а затем приближенно полагают

причем интеграл в правой части равенства (57) вычисляется непосредственно. В результате находим

49

Т.о., мы получили, что

Здесь yi – значения функции в узлах интерполяции, i – числовые коэффициенты. Формула (59) носит название квадратурная формула, правая часть – квадратурная сумма.

В зависимости от способа ее вычисления возникают разные методы численного интегрирования – прямоугольника, трапеций, парабол, сплайнов и т.д.

Квадратурная формула (59) может быть записана в другом виде

где i – приближенное значение площади элементарной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [xi 1; xi].

50