Мет выч методичка

Многочлен Лагранжа

Будем строить интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка [x0; xn], в виде линейной комбинации многочленов степени n:

так, чтобы многочлены li(x) обращались в нуль во всех узлах интерполяции, кроме i - го, где он должен равняться единице. Этим условиям при i = 0 отвечает многочлен вида:

31

Подставляя (34),(35) в (33) получаем интерполяционный многочлен Лагранжа:

32

Единственность найденного решения следует из единственности решения системы (29). Если положить n = 1 в (36), то получим рассмотренный ранее случай линейной интерполяции, при n = 2 – случай квадратичной интерполяции:

Упражнение. Проверить, что из (36) при n = 1 следует случай линейной интерполяции.

Многочлен Ньютона

При построении интерполяционного многочлена Лагранжа не накладывалось никакого требования на распределение узлов интерполяции. Рассмотрим случай равноотстоящих по оси x узлов интерпо-

33

ляции. Введем h = xi xi 1 – шаг интерполяции, h = const.

Конечные разности

Разности первого порядка (первые разности)

y0 = y1 y0 = f(x0 + h) f(x0)y1 = y2 y1 = f(x0 + 2h) f(x0 + h)

:::

yn 1 = yn yn 1 = f(x0 + nh) f(x0 + (n 1)h)

Разности второго порядка (вторые разности)

2y0 = y1 y02y1 = y2 y1

:::

Разности порядка k

kyi = k 1yi+1 k 1yi; i = 0; 1; :::; n 1

34

Конечные разности выражаются через значения функции

2y0 = y1 y0 = (y2 y1) (y1 y0) = y2 2y1 + y03y0 = 2y1 2y0 = ::: = y3 3y2 + 3y1 y0

В общем случае

Упражнение. Используя метод математической индукции доказать формулу (38).

35

Интерполяционный многочлен Ньютона будем искать в следующем виде:

N(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + :::+

+ an(x x0)(x x1):::(x xn 1) (39) График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е N(xi) = yi i = 0; 1; :::; n. Для нахождения коэффициентов много-

члена получаем систему

N(x0) =a0 = y0;

N(x1) =a0 + a1(x1 x0) = a0 + a1h = y1;

N(x2) =a0 + a1(x2 x0) + a2(x2 x0)(x2 x1) = = a0 + 2a1h + 2a2h2 = y2;

36

37

В результате получаем

N(x) = N(x0 + th) = y0 + t y0 + t(t 1) 2y0 + :::+ 2!

+ t(t 1):::(t n + 1) ny0 (41) n!

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно справедливо на всем отрезке [x0; xn], но для уменьшения ошибок округления разумно использовать его только для левой половины рассматриваемого отрезка.

Полученная формула для интерполирования вперед практически неудобна для интерполирования функции вблизи конца отрезка. В этом случае используют формулу для многочлена Ньютона для интерполирования назад, которую мы сейчас и получим.

38

Интерполирующий полином запишем в следующем виде:

N(x) = a0 + a1(x xn) + a2(x xn)(x xn 1) + :::

+ an(x xx)(x xn 1):::(x x1): (42) Из условия совпадения значения многочлена и функции в узлах находим

N(xn) = yn ) a0 = yn

N(xn 1) = yn 1 ) yn + a1( h) = yn 1 )

и в общем случае, применяя метод математической индукции можно строго доказать, что

kyn k

ak = k!hk :

39

Подставляя найденные коэффициенты в (42), получаем

+ t(t + 1):::(t + n 1) ny0 (44) n!

Соотношение (44) – второй интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад.

Отметим, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен, разница

40