Мет выч методичка

В случае, если в качестве '(x) взять многочлен Лагранжа, построенный на n+1 равноотстоящих узлах, то полученные с его помощью значения коэффициентов i в (59) вместе с самой формулой (59) образуют т.н. формулы Ньютона-Котеса.

5.1 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников предполагает замену интеграла интегральной суммой

Под может пониматься как левая, так и правая граница элементарных отрезков: i = xi 1 или i = xi.

51

Более точным метод прямоугольников становится, если использовать значения функции в средних точках элементарных отрезков

52

Последняя формула отражает метод средних.

53

В результате формула трапеций для численного интегрирования имеет вид

В случае постоянного шага формула трапеций принимает вид

Очевидно, что погрешность формул прямоугольников и трапеций определяется шагом интегрирования. С уменьшением шага увеличивается точность вычисления интеграла. Если увеличение числа точек невозможно (функция задана в табличном виде), повышения точности можно достичь увеличивая степень используемых интерполяционных многочленов.

54

5.3 Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на четное число равных ча-

стей с шагом h: [x0; x2], [x2; x4],..., [xi 1; xi+1],...,[xn 2; xn], n – четное число. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим

интерполяционным многочленом второй степени:

+(x xi 1)(x xi)yi+1g (67)

55

Площадь криволинейной трапеции соответствующей отрезку [xi 1; xi+1] можно найти с помощью определенного интеграла

xi 1

Его вычисление можно провести в системе Maple (см. пример).

56

Аналогично можно вычислить такие интегралы для каждого элементарного отрезка и результаты просуммировать. В итоге получим

h

S = 3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + ::: + 2yn 2 + 4yn 1 + yn)

Таким образом, мы получили формулу Симпсона (или формулу парабол):

b

Z

h

f(x) dx 3 fy0 + 4(y1 + y3 + ::: + yn 1)+

a

+ 2(y2 + y4 + ::: + yn 2) + yng (69)

57

5.4 Метод Гаусса

Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся такими, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов.

Т.е., задача ставится таким образом: нужно подобрать узлы

t1; t2; :::; tn и коэффициенты 1; 2; :::; n таким образом, чтобы квадратурная формула

Z1 n

X

f(t)dt = if(ti) (70)

1 i=1

была точной для всех полиномов f(t) наивысшей возможной степени N. Т.к. мы имеем 2n постоянных ti, i, а полином степени 2n 1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень будет равна N = 2n 1.

58

В частности, необходимо, чтобы равенство (70) было верным при

59

получаем систему 2n уравнений для нахождения ti и i:

n

X it2in 1 = 0: i=1

Для того, чтобы не находить значения коэффициентов и узлов каждый раз, их значения табулированы для отрезка интегрирования [ 1; 1]. Простой заменой переменных произвольный отрезок [a; b] мо-

60