Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский государственный институт менеджмента

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

у=х2-2 1,5х+1,52-1,52+5, или у=(х-1,5)2+2,75; у-2,75=(х-1,5)2.

Следовательно, вершина параболы лежит в точке (1,5; 2,75)

6 у

2 М

2. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе

x	2	y	2

9		8

проведенной в точке М(-9;-8).

Решение

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0=f (x0) (x-x0).

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0=

1
f ' (x		)
	0

(x-x0).

Найдем f (x0), используя производную неявной функции. Дифференцируем равенство для функции по х.

2x	2y y'	0,	y y'		x	, y' f '(x)			8x	.	Подставляя координаты точки
9	8		8		9				9y

М, получим f '(x		0 ) f '( 9)		8 ( 9)			1.	Следовательно
				9		( 8)

у+8=1 (х+9), или у=х+1–уравнение касательной; у+8=-1 (х+9), или у=-х-17–уравнение нормали. Сделаем чертеж, учитывая, что полуоси гиперболы а=3,

8 2,8.

	у								5
									4
									3
					х				2
					х				1
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6
									1
									2
									3
									4
									5
М									6
М									7
									7
									8
									9
									10

Ответ: у=х+1–уравнение касательной;

у=-х-17–уравнение нормали.

3. Найти производные данных функций в произвольной точке:

а)


	1 cos		2	x
y	1 cos			x
y	1	sin 5x
	1	sin 5x

Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:

- производная частного 2-х функций

(

)

u v u v

- производная сложной функции ( f (u(x)))

f (u(x)) u (x)

-формулами

(sin x)

cos x

(cos x)

sin x

)

n x

n 1

1 cos

)

1 cos x 1 sin 5x 1 cos

1 sin 5x

y (

1 sin 5x

2cosx sin x 1 sin 5x

x 5cos5x

1 cos

1 sin 5x

б)

y x arcsin 2x arctg3x

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции ( f (u(x)))			f
				(u(x)) u (x)

-производная суммы 2-х функций u v

-производная произведения 2-х функций

u v
	u v u v
u v

- формулами

	1		1
arcsin x		arctgx	1 x	2
	1 x	2		2
	1 x

arcsin 2x

x arcsin 2x arctg3x

x arcsin 2x x arcsin 2x

arctg3x

9x2

1 4x2

в) y 5

sin 2 x

tg 2x

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции ( f (u(x)))

(u(x)) u (x)

-производная суммы 2-х функций
	u v

- производная произведения 2-х функций

u v
	u v u v
u v

- формулами

(а

) а

ln a

; tgx

; sin x

cosx ;

cos2

x 1

у 5

sin 2 x

tg 2x

ln 5 2cos2x

Решите самостоятельно:

cos x

а) у 3х

cos2x

б)

y x arcsin x e

в) y

sin x 5x

x 2

г) y arctg

д)

е)

3x 5

2	3	x
	3
	2	2x
	2
cos

x2 4

2x 3

;

Задания для самосоятельного решения:

1. Составить уравнения касательной и нормали

астроиде	x	2 cos	3	t; y	2 sin	3	t	, проведенной в

2) Найти производную функции

точке, для которой t= /4.

а)

	1 5х		2
у	1 5х
у	2 5х	2
		2

б)

y ln	4	(x	2		x	4	1)

в)

y 3	x	x	2	tg3x

Дифференцирование сложной, обратной, показательно-степенной функции

1.Дифференцирование сложной функции.

2. Дифференцирование обратной функции.

2. Логарифмическая производная.

Теоретическая часть:

Пусть переменная у есть функция от переменной u(y=f(u)), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х: u=z(x). Тогда у называется функцией от функции или сложной функцией y=f(z(x)).

Производная сложной функции y=f(z(x)) находится по правилу:

	f	'
	f	z
		z

'
x .
	x	k	/	k x		k 1
1)	x			k x
1)
3)	ln x /				1
3)	ln x /				x
	ex /				x
5)	ex /			ex
7)	cos x / sin x

		x						1
2)			/					1
2)					2			x
	a				2			x
			/	a				ln a
4)		x		a			x	ln a
		x					x

6)	sin x /				cos x
			/					1
8)	tgx
8)	tgx					cos			2	x
						cos				x

			/		1
9)	ctgx				sin	2	x
9)						2

11)
		/		1
arccos x				1 x
				1 x
					2
				/			1
13)		arcctgx					1 x	2
13)								2

				/		1
10)	arcsin x					1 x
10)						1 x
						2
12)	arctgx /					1
12)	arctgx /					2
					1	x
	log		/			1
14)	log	a	x		x ln a
14)		a

Практическая часть:

1. Найти производные

dy dx

функций, заданных в явном виде.

			3	7		2	2
а)	y 2	x	3		3x	2	.
	y 2	x			3x		.
				x			x	5
								5

Предварительно запишем функцию в виде, удобном для дифференцирования

у=2x3/2-7x-1+3x2-2x-5, тогда у=3x1/2+7x-2+6х+10x-6=

=	3	x	7		6х
				2
			x


Ответ:			у' 3			x

б) у=e-xtg(7x6). y =( e-x) tg(7x6)+

= e x ( x)' tg(7x

10			.
			.
x		6	.
		6

7			6х	10		.
	2		6х		6	.
x	2			x	6
x				x
e-x( tg(7x6))=
6 ) e x							1	(7x	6 )'

				cos2			(7x 6 )
				cos2			(7x 6 )

	x		6		42x		5		e	x
e		tg(7x		)									.
						2					6
					cos			(7x				)

Ответ:

	x		6		42x		5		e	x
y' e		tg(7x		)									.
						2					6
					cos			(7x				)

в) y=arctg2(5x)ln(x-4). y =(arctg2(5x))ln(x-4)+

=2arctg(5x)( arctg(5x))

arctg2(5x)( ln(x-4))=

	ln(x-4)+arctg2(5x)	1
	ln(x-4)+arctg2(5x)	х 4
		х 4

(x-4)=

2arctg(5x)	1	(5x)' ln( x 4)	arctg 2 (5x)
	(5x)2		x 4
1

10arctg(5x) ln( x 4)			arctg 2	(5x)	.
1	25x	2	x	4

Ответ:

г)

	10arctg(5x) ln( x 4)		arctg	2	(5x)
y'						.
	1 25x	2	x 4

																	x												3				x
y 5 (x 4)3																																		.
																						(x 4) 5
																						(x 4) 5
																tgx																	tgx
			3						3			1								(x)' tgx x(tgx )'
y'				(x 4)
										5
										5
		5																									tg 2 x
																		tgx										x

	3	(x 4) 2 / 5																								cos2 x
	3																									cos2 x

	5																						tg 2 x
					3							tgx					cos						2		x x								3					sin x cos x x
					3							tgx					cos								x x								3					sin x cos x x			.
							2										2		x cos								2												2		.
							2							tg			2										2	x			5		(x			4)	2	sin	2	x
	5(x 4) 5													tg														x		5			(x			4)		sin		x
	5(x 4) 5
Ответ:					y'										3												sin x cos x x									.
					y'																	2								2						.
									5		(x 4)																		sin			x
									5
									5
д)	y sin						3	(cos					2		(x e							3x		)).
	y sin							(cos							(x e									)).

y'		3sin				2	(cos				2			(x			e				3x		))		(sin(cos						2		(x e		3x		))'
y'		3sin					(cos							(x			e						))		(sin(cos								(x e				))'

3sin 2 (cos 2 (x e3x )) cos(cos 2 (x e3x ))

(cos 2 (x e3x ))' 3sin 2 (cos 2 (x e3x )) cos(cos 2 (x e3x ))

2 cos(x e3x ) (cos(x e3x ))' 6 sin 2 (cos 2 (x e3x ))

cos(cos 2 (x e3x )) cos(x e3x ) ( sin( x e3x )) (x e3x )'

6sin 2 (cos 2 (x e3x )) cos(cos 2 (x e3x )) cos(x e3x )

sin( x e3x ) (e3x xe 3x 3).

Ответ:

y' 6sin

(cos

(x e

)) cos(cos

(x e

)) cos(x e

) sin( x e

) e

(3x

1).

Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части.

lny=cosx ln(tgx).

Продифференцируем обе части по х

y'	sin x ln( tgx ) cos x						1		1		;
y	sin x ln( tgx ) cos x						tgx			2	;
									cos	2	x
									cos		x
y' y( sin x ln( tgx )						1	);
y' y( sin x ln( tgx )						sin x	);
						sin x
y'		(tgx )		cos x	( sin x ln( tgx )				1	).
				cos x
								sin x
								sin x
		dy
2. Найти производные		dx	функций, заданных в явном виде.
		dx

	y 4x	3	3	5	x	2	6
а)		3		5		2
а)			x				x	2
			x				x

Предварительно запишем функцию дифференцирования

у=4х3-3х-1-х2/5+6х-2,

тогда у =12x2+3x-2-2/5x-3/5-12x-3= 12x	2	3
			2
		x

в виде,

2 12x 3

55 x3

удобном для

Ответ:

y' 12x	2	3			2		12		.

		x	2				x	3
				5	x	3
				5

б) у=ctgx arccos(2x3). y =(ctgx) arccos(2x3)+ctgx (arccos(2x3)) =

=

1		arccos(2x	3	) ctgx	1	(2x	3	)'

	2
sin		x			1 4x	6

arccos(2x			3	)	6x	2	ctgx
arccos(2x				)	6x		ctgx		.
sin	2	x			1 4x			6	.
	2

Ответ: y =

arccos(2x 3 )

6x 2 ctgx

sin

4x 6

в) y=arcsin5(2x) log2(3x+5).

y =( arcsin5(2x)) log2(3x+5)+arcsin5(2x) (log2(3x+5)) =

=5 arcsin4(2x) (arcsin(2x)) log2(3x+5)+arcsin5(2x)

3х

5 arcsin 4 (2x)

(2x)' log

(3x 5)

3arcsin 5 (2x)

1 4x 2

10 arcsin

(2x)

log

(3x 5)

3arcsin

(2x)

1 4x

3x 5

Ответ: y'

10 arcsin 4 (2x) log

(3x 5)

3arcsin 5 (2x)

1 4x 2

				3	(x					1)		7			x			2																		x	2
г)	y				(x					1)					x					(x 2)				7 / 3			(x 1)			5						x			.
																								7 / 3						5
					(x			1)			5			sin x																					sin x
											5

		7								4												7														2x sin x x									2	cos x
y'		7	(x 1)							3	(x			1)			5		(x 1)			3	( 5(x 1)								6		)			2x sin x x										cos x
										3												3
		3																																						sin			2	x
		3																																						sin				x
	1							4																							2x sin x x										2	cos x
	1	(x 1)						3	(x 1)					6		[7(x 1) 15(x											1)]				2x sin x x											cos x
		(x 1)							(x 1)							[7(x 1) 15(x											1)]

	3																																			sin			2	x
	3																																			sin				x
						4
	(x 1)					3	(22 8x)												2x sin x x						2	cos x
						3
				3(x 1)							6										sin	2		x				.
											6											2

														4
									(x 1)					3	(22 8x)							2x sin x x										2		cos x
					y'									3
Ответ:					y'								3(x 1)							6							sin		2		x							.
Ответ:																				6									2

Ответ: у=

sin( 2sin xctgx ) cos			xctgx	(x cos x sin x)	.
2sin	2	x	xctgx

д) y=(sinx)arcsinx.

Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части.

lny=arcsinx lnsinx.

Продифференцируем обе части по х

ln sin x arcsin x

cos x;

1 x

sin x

y' y(

ln sin x

ctgx arcsin x);

1 x

y' (sin x)

arcsin x

(

ln sin x

ctgx

arcsin x).

1 x

Ответ:

y' (sin x)arcsin x (

ln sin x

ctgx arcsin x).

1 x 2

3. Найти производные указанного порядка

у=xln(1+3x)

у=?.

Решение:

y =ln(1+3x)+x

ln(1

3x)

3х

1 3x

3(1 3x) 3x 3

3 9x 3 9x 9x

6 9x

1 3x

(1 3x)

Ответ: y' '

6 9x

(1 3x)

4. Найти производную

y .

			3t	2		1
				2
		x	3t			3		,
						3

1.					t
	y sin						3
	y sin
							3

	x cos 2t,
2.		2
	y 2sec		t.

t
t	.


.

Задания для самосоятельного решения:

1.Найти производную.

1).	y

3)	y

5)	y



2(3x	3

x ln(

arctg

	4x	2	x 2)
						.
15	1	x

x			x a )
tgx ctgx				.	6)	y
		2

2)	y x ln( 2 e				x	2		e	2 x		e		x	1.
	y x ln( 2 e					2		e			e			1.

								1		sin		2	3x
x a.		4)	y sin			3		1		sin			3x		.
x a.			y sin			3		3 3cos 6x							.


(arctgx)				(1/ 2) ln arctgx			.
(arctgx)							.

arcsin

4 x

7) y

ln 1 x2 .

8) y

(x2 8)

arcsin

1 x

ln( tgx ctg ).

sin

2. Показать, что функция y удовлетворяет данному уравнению.

y xe

/ 2

. xy (1 x

) y.

x 0.

Неявная функция, ее дифференцирование. Дифференциал функции, его свойства

1.Дифференцирование неявной функции

2.Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл.

3.Приближенные вычисления с помощью дифференциалов.

Теоретическая часть:

Дифференциал функцииdy есть главная часть ее приращения у, линейная относительно х с коэффициентом пропорциональности равным производной f'(x).

порядка —

d	3	y

dx		3

, и т.д.

Геометрическое представление дифференциала

Возьмем на графике функции y=f(x)точку с фиксированной абсциссой х=ОА, тогда у=АС (на рис.10 показаны два случая; буквенные обозначения для них одни и те же). Дадим аргументу приращение x=AB=CD. Тогда приращение функции будет y=DM. Проведем теперь касательную к кривой в точке С (х; у). Тангенс ее угла наклона α равен производной в той же точке: y′ = tgα (7)

Из прямоугольного треугольника CDEмы видим, что DE=CD ∙ tga=

х·у'

В правой части мы получили выражение дифференциала функции dy, следовательно, dy=DE.

Таким образом, если при некотором х приращение функции у в некоторой точке хесть приращение ординаты ее графика (DM), то дифференциал функции dyравен приращению ординаты касательной к графику в точке (х; у) при том же значении х.

y=f(x)

}

}dy

)

x x

Из рисунка мы видим, что dуможет быть и меньше, чем у (1) и больше (II). Разность между у и dyравна отрезку ЕМ.

Тот факт, что при небольших значениях х дифференциал функции приближенно равен ее приращению: у≈dу, позволяет во многих случаях заменять с достаточной точностью величину у, вычисление которой иногда бывает весьма затруднительным или громоздким, величиной dy, которую можно вычислить гораздо легче.

В этом и заключается принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям. Схема этого метода такова. Требуется найти численное значение некоторой функции y=f(x) при таком значении

аргумента, при котором вычисление у затруднительно. Тогда, если х оказывается весьма близким к некоторому другому значению аргумента х0(х=х0+ х), при котором значение функции у0 [y0=f(x0)] найти легко, то вместо искомого значения функции y=y0+ y=f(x0+ x) находим ее приближенное значение: у ≈ y0+f’ (х0)· х

Практическая часть:

1.Найти производные указанного порядка

у=(5-х2) ln2x у =?.

Решение: y =(5-x2) ln2x+(5-x2) ( ln2x) =-2x ln2x+(5-x2) 2lnx (lnx) =

=-2x ln2x+(5-x2) 2lnx

=2(5x-1-x)lnx-2x ln2x

y =2(-5x-2-1)lnx+2(5x-1-x)

-2 ln2x-2x 2lnx

2ln2x=

10(1 ln x)

6 ln x 2 2 ln

Ответ: y''

10(1 ln x)

6 ln x 2 2 ln

=(-10x-2-6) lnx+10x-2-2-

2. Найти первую и вторую производные неявной функции и функции,

заданной параметрически.
а) y=ey+4x. (условие изменено)
Продифференцируем обе части по х
y'=ey y'+4; y'(1-ey)=4;	(*)
Отсюда

1 e

Дифференцируем равенство (*) по х

y'' (1-ey)+y' (-ey) y =0. Отсюда

(y')

y''

1 e

Подставляя вместо у

его выражение, получим

y''

16e y

e y )3

Ответ:

. y' '

16e y

e y

(1 e y )3

x t

б) y 3 t 1

Первую и вторую производные найдем по формулам

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202529.63 Кб0право.docx
#
20.11.201973.22 Кб35Правоведение план семинара менеджмент.doc
#
20.05.20153.2 Mб19Практика пристовы.docx
#
20.05.20153.27 Mб29Практика пристовы.docx
#
08.11.2018490.5 Кб30Практикум по PR.doc
#
20.05.20153 Mб49Практикум по математическому анализу.pdf
#
01.05.202543.62 Кб1Практическое задание №4.docx
#
22.12.2018359.42 Кб11программа развития.doc
#
23.09.201956.32 Кб6программа ЭиП менеджмент (Магистры).doc
#
01.03.2025948.28 Кб1проект пдд бачурин салдин ширин гму-31.docx
#
01.03.202556.6 Кб0Просвещенный абсолютизм в России..docx