Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский государственный институт менеджмента

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Теоретическая часть:

1. Понятие об определенном интеграле

Пусть f(x) – функция, непрерывная на данном отрезке [a, a>b, и F(x) – некоторая ее первообразная, т.е. F`(x)=f(x) при х

Определение. Под определенным интегралом

b], где a<b или

[a,b].

b f (x)dx

(1)

от данной функции f(x) на данном отрезке [a,b] понимается соответствующее приращение ее первообразной, т.е.

b f (x)dx F (b) F (a)

(2)

(формула Ньютона-Лейбница).

В выражение (1) числа a и b называются пределами интегрирования, соответственно - нижним и верхним, [a, b] – промежутком интегрирования, а f(x) – подынтегральной функцией. Формулу (2) можно выразить в виде правила: определенный интеграл равен разности значений первообразной

подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Теорема: Для всякой функции, непрерывной на отрезке [a,b] существует соответствующий определенный интеграл.

2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим интеграл

f (t)dt

(1)

где t [a,x] [a,b] (во избежание путаницы, переменная интегрирования обозначена другой буквой).

Если F(x) – первообразная функции f(x), т.е.

F`(x)=f(x),

то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем

					x
					f (t)dt F (x) F (a) .		(2)
					a
Отсюда
	d x			d
			f (t)dt		F (x) F (a) F (x) F (a)	f (x) 0	f (x) .
	dx		f (t)dt	dx	F (x) F (a) F (x) F (a)	f (x) 0	f (x) .
		a

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

	d	x
		f (t)dt
	dx
		a

(x)

(3)

Таким образом, интеграл

x Ф(x) f (t)dt

(4)

является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим, что из формулы (2) следует, что Ф. (а)=0, т.е. Ф. (х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в нуль при х=а.

На основании формулу Ньютона-Лейбница имеем

d
	b

dx x


f (x)dx

d
dx	F(b) E(x) F(b)
dx

F (x)

(x)

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u=u(x), υ=υ(х) – непрерывно дифференцируемые функции т.е. имеющие непрерывные производные u`(x), υ`(x) на отрезке [a,b].

Имеем:

d u(x) (x) (x)du(x) u(x)d (x) .

Интегрируя это равенство в пределах от a до b и учитывая, что

du(x) u (x)dx		и	d (x) (x)dx	,
		и		,
находим
	b		b
u(x) (x)	ba (x)u (x)dx u(x) (x)dx .


	a		a

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

b u(x) (x)dx

u(b) (b) u(a) (a)

b (x)u (x)dx

Для краткости употребляется

u(b) (b)

(1)

обозначение

u(a) (a) u(x) (x)	b	,
u(a) (a) u(x) (x)	a

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл

(x)dx

(1)

Где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b], и пусть по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t, связанную с прежней х соотношением:

х=φ(t ) (α ≤ t ≤ β),

(2)

где φ(t ) – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a,b]. Если при этом: 1) при изменении t от α до β переменная х меняется от a до b,

т.е.
φ(α)=а, φ(β ) = b,	(3)

и 2) сложная функция f(φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [α,β] (если значения φ(t) не выходят из отрезка [a,b], то условие 2) излишне – теорема о непрерывности сложной функции), то справедлива формула

b			.
	f (x)dx	f( (t)) (t)dt	.
	f (x)dx	f( (t)) (t)dt
a

Практическая часть:

(4)

1. Вычислите определенные интегралы.

а)

1

3	6x	2dx
	6x	2dx
0

Решение:

1							1		1				4			4		4
	3								1	(6x 2)			3 1	1		4		4	1	3
	3	6x			2dx			(6x 2)	3 dx						(8	3	2	3 )		3	2)
		6x			2dx			(6x 2)	3 dx	4		6	0	8	(8	3	2	3 )	8	(16 2	2)
										4	3	6	0	8					8
0							0				3
0							0
		3		2
	2			2		1,685.
	2		4			1,685.
			4

Ответ:

1					3
					3
					4
	3	6x	2dx	2		2	1,685.
	3

0

12х

b)0 ех2 dx

Решение:

2х

u; Если х 0, то u 0;

du e

1 e

0,632.

2хdx du; Если х 1, то

u 1;

2х

Ответ:

dx 1 e 1 0,632.

ех

Вычислите определенные интегралы.

	2
c)		4х 1dx
c)
	0

Решение:

2			2					(4x 1)			3	2
2			2		1						2			1
	4х 1dx (4x 1)				1		dx							1	(9

						2
						2
0			0					3	2	4		0		6
									2
		2		13
Ответ:			4х 1dx	13			.
			4х 1dx		3		.

		0
		0
										4
										4
									cos			2	2xdx
								d)	cos				2xdx
								d)
									0

Решение:

Воспользуемся тригонометрической формулой


4
соs	2	2xdx
соs		2xdx
0

			4
Ответ:				соs
Ответ:
			0


1		4				1		sin 4x
1		(1	cos		4x)dx	1		sin 4x
		(1	cos		4x)dx		x
2		0				2		4
		0
2	2xdx				0,393.
2
				8
				8

3	2	1	3	2	)	1	(27	1)	26	13	.
		1			)		(27	1)			.

						6			6	3

соs	2	2x		1	(1 cos 4x)
	2
				2
				2
	1			sin
4	1			sin		0		.
4						0		.
0	2		4		4		8
0

2. Вычислите определенные интегралы.

а)

2
	5x 1dx

1
	e
b)
	1

ln	2	x
			dx
x

3. Вычислить определенные интегралы: а) по формуле Ньютона-Лейбница;

б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.

а)

7		x 1 t	3
3	dx

	x 1 1	2

0		dx 3t dt

= Найдем новые пределы интегрирования

x 0 t 1	2	3t 2dt	2	(t 2		2
					1) 1		1
x 7 t 2 =			3			dt 3 (t 1			)dt
		t 1			t 1			t 1

	t	2	t ln \| t 1 \|) \|2				1
3(	t			3(2	2 ln 3)	3(	1	1	ln 2)	1,5 3ln 3 3ln 2
3(				3(2	2 ln 3)	3(		1	ln 2)	1,5 3ln 3 3ln 2
	2		1				2
	2						2
1,5 3ln 1,5 2,716

Ответ:

7
3	dx	1,5	3ln 1,5	2,716
	dx
	x 1 1
0	x 1 1
0

б)

11
	x	3	32dx
		3

1

Применим приближенную формулу Симпсона

b			3
			3
	f (x)dx		h	(y		y			4(y		y			... y	n 1	) 2(у		у		у	n 2	))
	f (x)dx			(y	0	y	n		4(y		y		3	... y		) 2(у	2	у	4	у		))
					0		n			1			3				2		4
a
где		h=(b-a)/n,				(n-четное число, у нас n=10),														yi	значения
подынтегральной функции в точках xi=a+ih.
В нашем случае						h		11 1		1		.
						h			10	1


Заполним таблицу
		xi				yi=			3
i		xi				yi=			xi 32
0		1							5,74
1		2							6,32
2		3							7,68
3		4							9,80
4		5						12,53
5		6						15,75
6		7						19,36
7		8						23,32
8		9						27,59
9		10						32,12
10		11						36,92

Находим: у0+у10=5,74+36,92=42,66. у1+у3+у5+у7+у9=6,32+9,80+15,75+23,32+32,12=87,32. 4 87,32=349,28. у2+у4+у6+у8=7,68+12,53+19,36+27,59=67,16. 2 67,16=34,32.

11				3		3
				3		3
	x	3	32dx	1	(42,66 349,28 134,32)	1	526,26 175,42
		3

1

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить определенные интегралы:

а) по формуле Ньютона-Лейбница;

б) по формуле Симпсона при n=10 с точностью до двух знаков.

6	x 3	8
а)	x 3	8
а)	x	dx ; б)	82 x2 dx
3		2
		2

Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

1.Вычисление площади плоской фигуры в ПДСК.

2. Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Теоретическая часть:

При решении этих задач полезно придерживаться следующего порядка.

1.Сделать чертеж фигуры (дуги), описываемой уравнениями, заданными в задаче.

2.Выбрать подходящую формулу.

В декартовой системе координат (рис. 1):

b S ( f2 (x) f1 (x))dx. a

(1)

В полярной системе координат (рис. 2):

S1 (r22 ( ) r12 ( ))d . 2

(2)

При

параметрическом задании

кривой (рис.3):

	T
S		y(t)x (t)dt.	(3)
			(3)
	t
	0

Замечание: Если кривая f(x) задана параметрически или в полярной системе координат, то в определенном интеграле надо сделать замену переменных. Не забудьте про новые пределы интегрирования!

Практическая часть:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x2-4 и y=4-x2.

Решение: Обе линии являются параболами.

Вершина первой параболы находится в точке (0; -4). Ветви направлены вверх.

Вершина второй параболы находится в точке (0; 4). Ветви направлены

вниз.

Найдем точки пересечения этих линий.

y x 2	4		2			2			2			2
		x	2	4	4 x	2	, 2x		2	8,	x	2	4,
		x		4	4 x		, 2x			8,	x		4,
y 4 x 2

x1,2 2, x1 2, x 2 2, y1 0, y2 0.
Сделаем чертеж:
									5	у
									5
									4		у=4-х2
									3		у=4-х2
									2
									1
					3	2		1	1	0	1		2	3
									1
									2
									3		у=х2-4
									4
									5

Площадь найдем по формуле

										b
								S				[f	2	(x) f	(x)]dx
													2	1
										a
	2									2						2x	3	2
	2									2							3
S		[(4		x 2 ) (x 2		4)]dx					(8

														2x 2 )dx 8х		3		2
	2									2						3		2
			16		16		16		64	(кв.ед.).
16					16					(кв.ед.).
				3			3		3

Ответ: Искомая площадь 64/3 (кв. ед.).

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x2-5x-6 и y=x+10.

Решение:

Первая линия является параболой, вторая - прямой. Для построения параболы преобразуем ее уравнение: у=х2-2 2,5 х+2,52-2,52-6; у=(х-2,5)2-

12,25; у+12,25=(х-2,5)2.

Из последнего уравнения следует, что вершина параболы находится в

точке

(2,5; -12,25), а ось симметрии параллельна оси Оy. Найдем точки пересечения этих линий

y x	2	5x 6										6	36 64
y x		5x 6	x	2	5x 6	x 10,	x	2	6x 16	0,	x	6	36 64	,
				2				2

	10										1,2
y x	10												2

x1=-2, x2=8, y1=8, y2=18.

Сделаем чертеж:

15 14

11 10

32 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2

5 6

8 9

10 11 12 13

14 15

Площадь найдем по формуле S [f2 (x) f1(x)]dx

	8							8										x	3	8

S		[x 10	x 2		5x 6]dx					(6x 16		x 2 )dx 3x				2	16x	3			2
	2							2										3			2
				512			32		8		340		520	166	2	(кв.ед.).
192 128						12	32				340			166		(кв.ед.).
				3					3				3		3

Ответ: Искомая площадь 166 2/3 (кв. ед.).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r 3(1 cos ).

Решение Сделаем чертеж

	90
135	45

180			0
0 2	4	6	8
225		315
270

Площадь фигуры в полярной системе координат найдем по формуле:


															2	2
															2
														S	1		r	2	( )d .
																		2


																1
Найдем
			2									2	2
		2										2
S		1		(1 cos )			2	d				1		(1 2 cos cos							2	)d
							2														2

			0										0
						2				2													cos 2		2
	1	(			2sin )	2			1		(1 cos 2 )d									1	(		cos 2	)	2		3	.
	2	(			2sin )	0			4		(1 cos 2 )d									4	(		2	)	0	2	2	.
	2					0			4											4			2		0	2	2
										0

Ответ: Длина кардиоиды равна

	3
	2
	2

(кв. ед.)

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost); (0 t 2 ) и осью ОХ.

Решение:

Сделаем чертеж:

х Площадь фигуры найдем по формуле:

	t
	2
S		y(t) x'(t)dt.
S		y(t) x'(t)dt.

или

		t
		1
	2			2
S		a(1 cos t) a(1 cos t)dt a	2		(1 2 cos t cos	2	t)dt
			2			2

	0			0

		2			1 cos 2t								2
a	2		(1	2 cos t	1 cos 2t	)dt a	2	(	3	t 2sin t	cos 2t	)	2	3 a	2	.
	2						2								2
					2				2		4		0
					2				2		4		0
		0

Ответ: S=3 а2 (кв. ед.)

Задания для самосоятельного решения:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x2-3x+2 и y=-2x+8.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

2 sin

4 .

Длина дуги плоской кривой, объем тела вращения

1.Вычисление длины дуги плоской кривой.

2.Вычисление объема тела вращения.

Теоретическая часть:

Вычисление длины дуги плоской кривой

Для длины дуги незамкнутой плоской кривой без кратных точек (точек самопересечения) используют выражения:

b		dx - в декартовой системе координат; f(x) –
l	1 f (x) 2	dx - в декартовой системе координат; f(x) –
a

непрерывно дифференцируема на [a,b].

	2 2 d
l	2 2 d	- в полярной системе координат; имеет

непрерывную производную , .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.12.201826.79 Кб40Право самостоятельная.docx
#
20.11.201973.22 Кб17Правоведение план семинара менеджмент.doc
#
20.05.20153.2 Mб12Практика пристовы.docx
#
20.05.20153.27 Mб20Практика пристовы.docx
#
08.11.2018490.5 Кб23Практикум по PR.doc
#
20.05.20153 Mб41Практикум по математическому анализу.pdf
#
22.12.2018359.42 Кб4программа развития.doc
#
23.09.201956.32 Кб2программа ЭиП менеджмент (Магистры).doc
#
02.09.201956.31 Кб4Р_Г_З задание.docx
#
04.12.2018247.3 Кб9Рабочая тетрадь ЭКОЛОГИЯ.doc
#
04.12.201893.5 Кб4Рабочая тетрадь ЭКОЛОГИЯ.docx