Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский государственный институт менеджмента

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

lim

(

x 1

7 x )(

x 1

x )

(x 4)( x 1 7

x )

x 4

lim

x 1 (7 x)

lim

2(x 4)

x 4 (x 4)( x 1 7

x )

x 4

(x 4)(

x 1

7 x )

lim

x 4

x 1

7 x

					2sin	2	x			sin	x	sin	x
	1 cosx					2
		0	1				2	2			2		2
lim		0	1	lim			2	2	lim		2		2
lim				lim					lim
x 0	3x sin x	0	3 x 0 x sin x					3 x 0		x		sin x

2 1 1 1 .

3 2 2 6

Применили следствия из первого замечательного предела.

lim x

x x

1 2x

Применим

второй замечательный предел.

Сделаем замену

x 3			1					z; z												4				x				, z 0.
x 1			1					z; z												1				x				, z 0.
x 1																		x		1																					. Получим
					4									4																											. Получим
x 1					4			. x						4		1
x 1					z			. x						z		1
					z									z
		x 3 x 2																											4		1
		x 3 x 2																													1					4
lim																lim (1 z) z																		e				.
lim																lim (1 z) z																		e				.
x x						1													z	0
																										Решите самостоятельно:
				(x				3		2x 1)(x 1)																											x		3	3x 2									(x		2
								3																															3
1.	lim																										.		2.				lim													. 3.		lim

																																																		3
												4							2	5																			x x 2											3
	x 1								x						4x					5													x 1						x x 2									x 1 x
					(2x						2		x 1)								2													1 2x 3														1 x
											2										2
4.	lim																							.		5.	lim															.		6.		lim
	lim					3								2		x				2				.			lim								x							.				lim		2		3
		x 1	x			3					2x			2													x 4													2						x 8				3	x
		x 1	x								2x																x 4													2						x 8					x

7.	lim							x 1							. 8.					lim					ln(1 sin x)												. 9.				lim	1 cos10(x )										.

							x2					1																																		e x	2	1
		x 1 3					x2					1								x 0					sin 4(x							)									x 0					e x		1
					3x2 5x																						x	2				1											x	2	x 1 1
10.		lim			3x2 5x												. 11.					lim					x					1		.	12.				lim				x		x 1 1					.
10.		lim						sin 3x									. 11.					lim					ln x							.	12.				lim							ln x				.
		x 0						sin 3x															x 1				ln x												x 1							ln x
13.		lim			1 cos 3x													.		14.						lim				1 sin 2x											.
13.		lim																.		14.						lim															.
		x					sin 2 7x																			x / 4 ( 4x)2

3x 2)				2
3x 2)					.
2x		2	x		.
2x			x		2

3	.
	.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти пределы функций:

	4x		2		7 x				2
1) lim	4x				7 x				2
1) lim		2x		2	x 6
0		2x		2	x 6
x x
2) lim					x 2					;
2) lim		x 2							6 x	;
x 2		x 2							6 x
3) lim	arctg3x							;
3) lim			5x					;
x 0			5x
	x 3						2 x 5
	x 3
4) lim						.
x	x 2
x

1) lim		2x2 5x 3
1) lim			x2 5x 6
x x0			x2 5x 6

2) lim					x 1	9	x	;
2) lim					x 5			;
x 5					x 5
3) lim	cos x cos3 x						;
3) lim				2x sin x			;
x 0				2x sin x
			3

4) lim (2x 3) x 2 .

2. Вычислить:

1).

	sin 2x			1 x

lim		x	.
x 0

2).

	2 x	x

lim	.
x 0	3 x

3).

	sin 4x		2 /(x 2)
			.
lim		x
x 0

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

1.Классификация точек разрыва.

2.Исследование функции на непрерывность

Теоретическая часть Непрерывность функции. Точки разрыва,

классификация точек разрыва.

Рассмотрим вопрос о непрерывности функции, для этого проанализируем рисунки 1−4.

(а)		(а)
0	а	0
	Рис.1	а

0	(x)
0
	0
Р	Р

На каждом рисунке изображен график некоторой функции у=f(х).

На рис.1 в точке а функция не является непрерывной, так как в этой точке не существует значения функции f(а).На рис.2 значение функции в

точке а существует, но

lim x а

f (

)

не существует.Рис.3: в точке а значение

функции f(х) не существует и

lim x а

f ( x )

. Рис.4: функция f(x) имеет в

точке а значение и конечный предел, причем lim f ( x ) f(a) .

x а

Функция f(х) называется непрерывной в точке, если она в этой точке определена и существует конечный предел, равный значению функции в этой точке.

Функция является непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если в некоторой точке нарушено хотя бы одно условие непрерывности, то данная точка называется точкой разрыва функции. Точки разрыва функции могут быть 1 или 2 рода. Перед классификацией точек разрыва введем понятие односторонних пределов функции:

lim	f ( x )	=lim f ( x )	-предел функции в точке а слева;
lim		=lim f ( x )	-предел функции в точке а слева;
x a 0		x a
		x a
lim f ( x ) =lim f ( x ) -предел функции в точке а справа.
x a 0		x a
		x a
						Точки	разрыва
					1рода			2 рода
	Устранимый					Неустранимый		Хотя бы один
	разрыв				разрыв (скачок):			из
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0				)	lim f ( x ) lim f ( x ) о			односторонних
x a 0	x a 0				x a 0	x a 0		пределов не
оба односторонних					x a 0	x a 0
					дносторонние
								существует или
предела существуют,
					пределы конечны,
								равен (рис3.)
конечны и равны
					но не равны между

между собой, но не
между собой, но не					собой (рис.2)
равны значению					собой (рис.2)
равны значению
функции в этой точке
	(рис.1)

Практическая часть:

1. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции:

1 x			при x 1

			2
f (x) (1 x)			2	при 1	x 3 .
f (x) (1 x)				при 1	x 3 .
	x	при x 3
	x	при x 3

		Решение
Функция непрерывна в интервалах (- , 1),					(1, 3), (3,+ ). Проверим

функцию на непрерывность в точках х0=1 и 3. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

	lim			f (x)	lim		f (x) f (x0 ) .
	x x		0	0	x x	0	0
			0			0
1) х0=1
lim	f (x) lim (1 x) 0;
x 1 0	x 1
lim	f (x) lim (1 x)	2	0;
lim	f (x) lim (1 x)		0;
x 1 0	x 1
f (1) 1 1 0.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=1.

2) х0=3.

lim	f (x) lim (1 x)			2	4;

x 3 0		x 3
lim	f (x) lim x 3;
x 3 0		x 3
f (3)	(1 3)	2	4.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3.

Сделаем чертеж

		7
		6
		5
		4
		3
		2
		1
2	1	0	1	2	3	4	5	6
		1
		2

2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

cos x		при x 0
		при 0 x 3 .
f (x) x
	2 6x	при x 3
x

Решение

Функция непрерывна в интервалах (- , функцию на непрерывность в точках х0=0 и 3. непрерывности функции f(x) в точке х0

lim			f (x)	lim		f
x x	0	0		x x	0	0
	0				0

0), (0, 3), (3,+ ). Проверим Воспользуемся определением

(x) f (x	0	)	.

1) х0=0

lim		f (x)	lim	cos x cos 0 1;
x 0	0		x 0
lim		f (x)	lim	x 0;
x 0	0		x 0
f (0) 0.

Следовательно функция разрывна в точке х0=0.

2) х0=3.

lim	f (x) lim				x 3;
x 3 0				x 3
lim	f (x) lim				(x	2	6x)	9 18 9;
lim	f (x) lim				(x		6x)	9 18 9;
x 3 0				x 3
f (3) 3		2	6	3 9.
f (3) 3			6	3 9.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

					4
					3
					2
					1
6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6
					1
					2
					3
					4
					5
					6
					7
					8
					9
					10

3. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции

2 cos x				при x 0
				при 0 x 3 .
f (x) 2	x			при 0 x 3 .
	2	6x	10	при x 3
x		6x	10	при x 3
		Решение
Функция непрерывна в интервалах (- , 0), (0, 3),					(3,+ ). Проверим

функцию на непрерывность в точках х0=0 и 3. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

lim		f (x) lim	f (x) f (x 0 ) .
x x 0	0	x x 0	0

1) х0=0

lim		f (x) lim	2 cos x 2 cos 0 2;
x 0	0	x 0
lim		f (x) lim	(2 x) 2;
x 0	0	x 0

f (0) 2 cos 0 2.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=0.

2) х0=0.

lim	f (x) lim (2 x) 1;
x 3 0				x 3
lim	f (x) lim (x					2	6x	10)	9 18 10 1;
lim	f (x) lim (x						6x	10)	9 18 10 1;
x 3 0				x 3
f (3) 3		2	6	3 10	1.
f (3) 3			6	3 10	1.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

4. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции


1	2x		при x 0

		1		при 0 x
f (x) 2tgx		1		при 0 x

		при x
x 3		при x
				4

Решение

Функция непрерывна в интервалах (- , 0), (0, /4), ( /4,+). Проверим функцию на непрерывность в точках х0=0 и /4. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

lim		f (x) lim	f (x) f (x0 ) .
x x 0	0	x x 0	0

1) х0=0

lim		f (x)	lim	(1 2x) 1;
x 0		0	x 0
lim		f (x)	lim	(2tgx 1) 1;
x 0		0	x 0
f (x	0	) f (0) 1.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=0.

2) х0= /4.

lim		f (x)			lim				(2tgx 1)	3;
x		0			x
x	4	0			x		4
	4						4
lim		f (x)			lim				(x 3)		3;
lim		f (x)			lim				(x 3)		3;
x		0			x					4
x	4	0			x		4
	4						4
f (x		) f (		)				3.
f (x	0	) f (	4	)		4		3.
	0

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

			7
			6
			5
			4
			3
			2
			1
3	2	1	0	1	2	3	4
			1
			2
			3
			4

Задания для самосоятельного решения:

1. Доказать,

1.	f (x) 5x
	2
2.	f (x) 4x 2

что функция f (x) непрерывна в точке

1, x	0	6.
	0

2, x0 5.

x	0

2. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции


1 2x		при x 0

	1		при 0 x
f (x) 2tgx	1		при 0 x

	при x
x 3	при x
			4

3. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

а).

б).

	1 x	при x 1
f (x)	(1 x)2	при 1 x

x при x 3

Доказать, что функция f (x) непрерывна в точке

f (x) 3x	2		3, x			4.
				0

f (x) 2x		2	4, x			3.
					0

3 .

x0 .

Дополнительные задания

1.Вычислить:

1).

lim	1	cos x
lim	x sin x
x 0	x sin x

2).

lim	arcsin 2x	.
	ln( e x) 1
x 0

3).

	e	4 x	1
		4 x
lim	sin( (x / 2 1))			.
x 0	sin( (x / 2 1))

4).

lim	1 cos( x )				.
	(e	3 x	1)	2
x 0

	3
lim	4
x 1	4

	x 1	.
	x 1	.
	x 1

6).

lim	tg x	.
	x 2
x 2

7).

10).

lim	1 sin( x / 2)	.

x	x	8).

		1

lim (1 sin 2 3x) ln cos

x 0

lim	1
lim
x / 3

x .11).

2 cos x

lim (tg(

x 0

		1

.	9).	lim (cos x) ( x sin x) .
	9).	x 0
		x 0

x))ctgx .

12).

lim (1 x sin	2
lim (1 x sin
x 0

1
ln(1 x	3	)
ln(1 x		)

13).


	x 2	cos x
lim		.
lim		.
x 0	x 4

14).

	sin 6x			2 x

lim		2x	.
x 0

15). lim

x 0

e x	2	1	6 /(1 x)

			.

	x	2

16).

	sin 2x		x	2


lim		.
x 0	sin 3x

2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

а)


3sin x
		2
f (x) 2x		2
f (x) 2x
	x 3		при
	x 3		при

при x 0

при 0 x x 2

. б)

	3sin x		при x 0
f (x)		2	при 0 x 2
f (x)	2x	2	при 0 x 2

			при x 2
	x 3		при x 2

в)

				при x 0
3cosx
	x			при 0 x 3
f (x) 2
	2	6x	8	при x 3
x

Производная функции в точке. Правила дифференцирования

1.Производная функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

2.Правила дифференцирования.

Теоретическая часть:

Производной функции в точке х0 называется число, равное пределу отношения приращения функции у к вызвавшему его приращению

аргумента х, при условии, что х 0, т.е.	f '(x		) lim	y	.
		0
			x 0 x

Производная функции имеет несколько обозначений: у’,f’(x). Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная f’(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к

кривой у=f(x) в точке х0	k	кас	f ' ( x )	.

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид y-y0=f (x0) (x-x0).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

y-y0=

1
f ' (x		)
	0

(x-x0).

Из задачи о мгновенной скорости следует механический смысл производной: производная пути по времени S’(t0) есть скорость точки в момент времениt0.

Таблица производных элементарных функций

		/		k 1			1
1) x	k			k 1		/	1
			k x		2)	x

							2 x
							2 x

				/		1
3)	ln x					x
3)
	e			e
	e			e
5)			x	/		x
			x			x

				/	sin x
7)	cos x				sin x
7)
				/			1
9)	ctgx						sin	2	x
9)								2

11)
		/				1
arccos x					1 x
					1 x
							2
						/			1
13)		arcctgx							1 x	2
13)										2

ln a

cos x

sin x

tgx

cos

10)

arcsin x

1 x

12) arctgx /

1 x

log

14)

x ln a

Кроме таблицы производных основных элементарных функций при нахождении производных пользуются следующими правилами:

(с=const, u=u(x), v=v(x))

1) c′=0 2) (u±v)′=u′±v′ 3) (cu)′=c·u′ 4) (uv)′=u′v+uv′

	u	/	u'v uv'
					, v 0
5)				2
	v		v

Практическая часть:

1. Составить уравнения касательной и нормали к параболе у=х2-3х+5, проведенной в точке М(2, 3). Найти угол, образованный касательной с осью абсцисс.

Решение

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид y-y0=f (x0)(x-x0).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x0;y0) имеет вид

1	(x-x0).
y-y0= f ' (x 0 )

Известно х0=2, у0=3. Найдем производную у =2х-3. Тогда при х=2 f (x0)=f (2)=4-3=1. y-3=1 (x-2); у=х+1–уравнение касательной.

у-3=-1(х-2); у=-х+5–уравнение нормали.

Производная функции в данной точке численно равна угловому коэффициенту касательной, поэтому

tg =1 =45 .

Сделаем чертеж. Для этого перепишем уравнение параболы в виде

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202530 Кб13право.docx
#
20.11.201973 Кб58Правоведение план семинара менеджмент.doc
#
20.05.20153 Мб34Практика пристовы.docx
#
20.05.20153 Мб25Практика пристовы.docx
#
08.11.2018490 Кб38Практикум по PR.doc
#
20.05.20153 Мб54Практикум по математическому анализу.pdf
#
01.05.202544 Кб7Практическое задание №4.docx
#
01.07.202586 Кб4Примеры решения расчетных задач, которые предст...docx
#
22.12.2018359 Кб18программа развития.doc
#
23.09.201956 Кб9программа ЭиП менеджмент (Магистры).doc
#
01.03.2025948 Кб3проект пдд бачурин салдин ширин гму-31.docx