Роз’вязок:

Згідно попередній задачі, лінійний струм утворює магнітне поле

. (2.1)

Сила, яка діє на виток з током в магнітному полі нескінченого лінійного струму дорівнює:

, (2.2)

де - елемент довжини витка, який дорівнює , де - орт, дотичний до витка в точці, якій відповідає кут . Розглянемо тепер по черзі описані в умові задачі випадки.

1. В цьому випадку

, (2.3)

де - відстань від лінійного провідника до елемента довжини витка. Нехай лінійний провідник направлений вздовж вісі і проходить через початок координат. Будемо вважати, що центр витка знаходиться на вісі в точці . Відповідь на поставлене в задачі запитання можна отримати а) з якісних міркувань і б) виконуючи безпосередньо інтегрування в (2.3).

а) Неважко зрозуміти без обчислень, що вектор , а як наслідок і є направленими вздовж вісі . З другого боку, модуль сили залежить тільки від значень параметрів і , тобто . Ми бачимо, що значення сили є інваріантними відносно довільних зсувів вздовж вісі . Такій силі відповідає потенційна функція , яка лінійно зростає із зростанням . Але це є неможливим через існування симетрії - інваріантність відносно довільних зсувів вздовж вісі . Таким чином, ми робимо висновок, що

і . (2.4)

б) Встановимо цей же результат безпосереднім інтегруванням в (2.3). З Рис.. випливає, що

. (2.5)

В описаній ДСК орти і має представлення:

,

.

Таким чином,

. (2.6)

Можна також встановити зв'язок між , але це не є необхідним оскільки, оскільки формули (2.3) і (2.4) дозволяють вже зараз зробити висновок, що дорівнює нулю. Дійсно,

. (2.7)

Розглянемо значення підінтегральної функції в дзеркально симетричних точках відносно вісі (див. Рис..):

і ,

яким відповідають подібні значення кута :

і .

Неважко бачити, що знаменник в цих точках приймає однакові значення, а чисельник приймає значення, однакові за величиною, але протилежні за знаком (знак змінюють обоє і ). Так що остаточно .

2) Перейдемо тепер до розгляду другого випадку, коли виток розташовується в тій же площині, в якій знаходиться і лінійний провідник. Нехай ДСК вибрана у такий самий спосіб, як і в першому випадку. Тільки тепер виток буде розташованим в площині . Сила, яка діє на виток в цьому випадку, за структурою не відрізняється від тієї, що визначається формулою (2.3). Змінюється тільки явний вигляд ортів:

,

.

Звідси випливає, що

.

Величина також набуває більш простого вигляду у порівнянні з (2.5):

.

Таким чином,

.

З міркувань симетрії зразу ж випливає, що (2.8) переходить в

.

Використовуючи ще одне тривіальне перетворення, отримуємо:

.

Циркулярний інтеграл зводиться до суми двох однакових звичайних інтегралів:

.

Остаточно, сила з якою лінійний провідник діє на виток з током, описується формулою:

. (2.8)

Для того, щоб визначити напрямок цієї сили, потрібно виходити з наступних міркувань. Лінійний струм ми будемо вважати позитивним, якщо він тече вздовж позитивного напрямку вісі . Струму будемо присвоювати позитивний знак, коли він тече по витку проти часової стрілки. Саме так є направленим вектор дотичної до витка. Звідси випливає, що лінійний провідник і виток будуть відштовхуватись, коли . Цей висновок повністю узгоджується з якісними міркуваннями. Дійсно, в тій чистині витка, яка є найближчою до лінійного провідника і обумовлює головний внесок в в величину сили, струм є протилежним струму . А як відомо, струми двох протилежних напрямків відштовхуються. В протилежному випадку, коли , лінійний провідник і виток з током повинні притягуватись один до одного.

Зазначимо, що формулі (2.8) можна надати більш загального вигляду. Тут ми звернемо увагу на те, що (2.8) відповідає ДСК, яка описана вище. Але за своїм смислом її співпадає за напрямком з ортом ЦСК . Тому, якщо формулу (2.8) переписати у вигляді

, (2.9)

вона повністю втрачає зв'язок з конкретною системою координат, в якій виконувався розрахунок сили взаємодії струмів.

в) Перейдемо тепер до аналізу ситуації при довільній орієнтації площини, в якій є розташованим виток, по відношенню до лінійного провідника. На перший погляд, цей випадок здається набагато складнішим у технічному відношенні, чим випадки а) і б). Але тут можна скористатися цілком загальними міркуваннями, основаними на аналізі просторового напрямку дії сили.

Напрямок сили в будь-якій фізичній задачі завжди є певною комбінацією тих векторів, які задають просторову орієнтацію всіх її характерних складових елементів. Конкретно, в нашому випадку, такими несферичними елементами з певною просторовою орієнтацією є лінійний провідник і виток. Їх орієнтація задається вектором , направленим вздовж лінійного провідника за напрямком струму , і псевдовектором , який задає просторову орієнтацію витка. З двох можливих напрямків вибирається той, що узгоджується з напрямком струму за правилом буравчика. Неважко впевнитись, що векторний добуток вектора і псевдовектора є полярним вектором, тобто має ті ж самі властивості, що і сила відносно операції інверсії. Таким чином, ми робимо висновок, що

. (2.10)

Для знаходження явного вигляду функції потрібно звернутись до тієї просторової конфігурації провідника і витка, де відповідь нам відома. В нашій ситуації таким випадком є б). Тут співпадає з ортом , а значення знаходяться з формули (2.9). Таким чином,

. (2.11)

При використанні цієї формули слід пам’ятати, що напрямок і знак є однозначно пов’язаними.

Зокрема, у випадку а) вектори і є паралельними чи антипаралельними, тому і , що повністю узгоджується з наведеним вище розв’язком.

Задача 3. Знайти магнітне поле, утворене однорідно намагніченим шаром. Радіус шару дорівнює , а його вектор намагніченості - .