Задача 1. Знайти магнітне поле котушки з током. Вважати, що по провіднику обмотки тече струм , а густота намотки дорівнює (число витків на одиницю довжини). Крім того, приймаємо, що довжина котушки набагато перевищує її діаметр . Обчислити коефіцієнт індукції котушки на одиницю довжини.

Роз’вязок:

Розглянемо магнітне поле котушки вдалині від її кінців, де поле з задовільною точністю співпадає з полем нескінченого циліндра, по обмотці якого тече струм . Для спрощення задачі перейдемо до неперервного розподілу току по поверхні котушки. Виходимо з того, що густина поверхневого току дорівнює сумарному току, який протікає через одиничний відрізок на поверхні котушки, перпендикулярний виткам. Згідно умови задачі, . Напрямок густини току задається дотичним вектором

, (1.1)

де

. (1.2)

У такий спосіб враховується, що напрямок току в витку обмотки не лежить строго у горизонтальній площині. Інакше кажучи, витки утворюють гвинтову лінію. Таким чином, густина поверхневого току є сумою двох складових:

(1.3)

і

. (1.4)

Складовій току відповідають поля:

і

.

Як це зрозуміло з міркувань симетрії, поля і можуть залежати тіль від відстані від вісі котушки.

Другій складовій току відповідають значення напруженості:

і

.

Оскільки об’ємні токи, за умовами задачі, є відсутніми, всі введені поля задовольняють рівнянням магнитостатики:

.

Неважко впевнитись, що поля і , , задовольняють першому з цих рівнянь тотожнім чином. А от друге з рівнянь приймає наступний вигляд:

, . (1.5)

З цих рівнянь випливає, що

. (1.6)

Для знаходження чотирьох констант і , , скористаємось граничними умовами (.17) на циліндричній поверхні:

(1.7)

і

. (1.8)

Перші з рівнянь (1.7) і (1.8) задовольняються тотожнім чином. З других рівнянь випливає:

. (1.9)

Як бачимо, рівняння (1.9) потрібно доповнити ще двома додатковими умовами. Оскільки лінійні струми є відсутніми на вісі котушки, то природно стверджувати, що

. (1.10)

Ця додаткова умова зразу ж приводить до висновку, що і, як наслідок, . Разом з (1.3), ми остаточно знаходимо:

. (1.11)

Другу додаткову умову пов’яжемо з поведінкою поля на достатньому віддалені від котушки, коли . В цьому випадку природно поставити вимогу , оскільки магнітне поле, створене струмом з одного боку кожного витка, компенсується полем, утвореним струмом протилежного напрямку з другого боку того ж самого витка. Звідси випливає, що , а . Таким чином,

. (1.12)

Якщо ввести - діаметр провідника обмотки, то формулі (1.12) можна надати більш прозорого вигляду:

. (1.13)

В більшості випадків , тому з цілком задовільною точністю сумарне магнітне поле котушки визначається формулою:

(1.14)

За означенням, коефіцієнт самоіндукції котушки визначається співвідношенням: , де - магнітний потік через поперечний переріз котушки. З (1.14) випливає, що

, (1.15)

тобто, визначається тільки поперечним перерізом котушки і густотою її намотки.

Задача 2. Знайти силу взаємодії нескінченого лінійного струму з круговим витком, по якому протікає струм . Вважати, що виток лежить у площині, 1) перпендикулярній до лінійного провідника; 2) в якій лежить і лінійний провідник і 3) довільно орієнтованій. Відстань між центром витка і лінійним провідником дорівнює , а радіус витка - .