MatAnal2

Билет 16.

1.Понятие степенного ряда, примеры. Первая теорема Абеля и следствие. Структура множества точек сходимости степенного ряда. Определение радуса сходимости. Примеры. Теорема о вычислении радиуса сходимости степенного ряда с помощью пределов (включая случаи нулевого

ибесконечного пределов).

2.Средние Фейера, ядро Фейера и его свойства. Теорема Фейера.

Билет 17.

1.Доказать, что признак Коши сходимости числового ряда сильнее признака Даламбера. Обобщенный признак Коши сходимости числового ряда. Теорема Коши - Адамара. Примеры.

2.Критерий сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Признак сравнения для несобственных интегралов (в фор-

ме неравенств и в предельной форме). Исследовать на сходимость ин-

R 1 dx . Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.теграл α

0 | ln x|

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов и связь между ними. Доказать сходимость интеграла Дирихле R0+∞ sinx x dx.

Билет 18.

1.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда внутри интервала сходимости. Теорема о непрерывности суммы степенного ряда. Теорема о неравномерной сходимости степенного ряда, расходящегося на конце интервала сходимости.

2.Дифференцирование собственного интеграла, зависящего от параметра, с переменными пределами интегрирования.

Билет 19.

1.Неравномерная сходимость степенного ряда на всей числовой оси. Вторая теорема Абеля.

2.Гамма-функция Эйлера и ее свойства. График гамма-функции.

Билет 20.

1.Теорема о почленном интегрировании степенного ряда и замечания. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда и замечание. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. Выражение для производных.

2.Формула Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов. Фор-

мула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Примеры. Доказать сходимость интеграла Эйлера R0π/2 ln sin x dx. Замена пере-

менной в несобственном интеграле. Вычислить интеграл Эйлера

R π/2 ln sin x dx.

0

Билет 21.

1.Выражение коэффициентов степенного ряда через производные его суммы в центре ряда. Определение аналитической функции. Теорема о едиственности разложения аналитической функции в степенной ряд. Определение коэффициентов Тейлора и ряда Тейлора. Пример бесконечно дифференцируемой функции, не являющейся аналитической.

2.Бета-функция Эйлера и ее связь с гамма-функцией.

Билет 22.

1.Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Маклорена показательной функции и область его сходимости.

2.Интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра,

спостоянными пределами интегрирования.

Билет 23.

1.Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Маклорена для синуса и область его сходимости.

2.Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра. Пример, показывающий, что условие равномерной сходимости отбросить нельзя.

Билет 24.

1.Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Маклорена для косинуса и область его сходимости.

2.Теорема о почленном интегрировании тригонометрического ряда Фурье.

Билет 25.

1. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд

Маклорена логарифмической функции и область его сходимости.

Билет 26.

1.Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Маклорена степенной функции и интервал его сходимости.

2.Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра,

спеременными пределами интегрирования.

Билет 27.

1.Признак сравнения для числовых рядов (в форме неравенств и в предельной форме). Признаки Даламбера и Коши (в форме неравенств и

впредельной форме). Интегральный признак сходимости числового ряда.

2.Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Билет 28.

1. Понятие последовательности функций и функционального ряда, об-

ласть сходимости. Примеры. Определение равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда. Примеры равномерно и неравномерно сходящихся последовательностей и рядов. Геометри-

Дини.

Билет 29.

1.Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница. Теорема об оценке остатка ряда лейбницевского типа.

2.Замкнутость тригонометрической системы в классе кусочно непрерывных функций.

Четвертый семестр

Билет 1.

1. Теорема о замене переменной в кратном интеграле (формулировка и

R R

доказательство, начиная с неравенства ϕ(A) f (x) dx ≤ A f (ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt,

справедливого для неотрицательной функции).

2. Кривая и ее след. Гладкая кривая. Замкнутая кривая, простой контур. Ориентация кривой. Длина кривой и ее независимость от параметризации. Естественная параметризация.

Билет 2.

1.Лемма об измеримости образа компактного измеримого множества при C1-диффеоморфизме.

2.Криволинейный интеграл первого рода и его элементарные свойства (аддитивность, независимость от параметризации и от ориентации). Физический смысл.

Билет 3.

1.Лемма о мере образа компактного измеримого множества при линейном отображении.

2.Криволинейный интеграл второго рода и его элементарные свойства (независимость от параметризации, зависимость от ориентации). Примеры.

Билет 4.

1.Интегральные суммы и их предел. Определение многомерного интеграла Римана. Суммы Дарбу и их элементарные свойства.

2.Формула Грина.

Билет 5.

1.Множества жордановой меры нуль и их элементарные свойства. Граница множества. Замкнутость границы.

2.Потенциальные поля в двумерном пространстве. Критерий потенциальности в терминах криволинейных интегралов вдоль замкнутых кривых.

Билет 6.

1.Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенств, интегрирование модуля, интегрируемость произведения, теорема о среднем значении.

2.Потенциальные поля в двумерном пространстве. Критерий потенциальности в терминах частных производных. Пример, показывающий, что условие односвязности нельзя отбросить.

Билет 7.

1.Лемма о приближении невырожденного сегмента объединением кубов. Следствие (представление внутренней меры через меры объединений кубов).

2.Понятие гладкого отображения и простой поверхности, параметрическое представление, явное задание поверхности. Край поверхности. Почти простая поверхность. Различные параметризации поверхности.

Билет 8.

1.Критерий измеримости по Жордану.

2.Касательные векторы и касательная плоскость к гладкой поверхности. Нормальный вектор. Независимость от параметризации.

Билет 9.

1. Теорема о замене переменной в кратном интеграле (формулировка

2. Ориентируемые поверхности. Ориентация (сторона) поверхности. Случай, когда гладкая поверхность является границей некоторой области.

Билет 10.

1.Лемма об оценке мер образов малых кубов при C1-диффеоморфизме.

2.Площадь криволинейного параллелограмма. Определение элемента площади поверхности и площади поверхности.

Билет 11.

1.Интегрируемость функции на объединении множеств. Равенство интегралов от функций, отличающихся на множестве жордановой меры нуль.

2.Свойства площади поверхности (независимость от параметризации, случай плоской области, случай явно заданной поверхности, аддитивность). Площадь почти простой поверхности.

Билет 12.

1.Теорема о сведении кратного интеграла к повторному и следствия.

2.Определение и физический смысл поверхностного интеграла первого рода. Независимость от ориентации поверхности. Случай явного задания поверхности. Примеры.

Билет 13.

1. Определение C1-диффеоморфизма. Лемма о границе образа при

C1-диффеоморфизме.

2.Определение потока векторного поля через ориентированную поверхность (поверхностный интеграл второго рода). Перемена знака при переходе к противоположной стороне поверхности. Формула сведения поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу.

Билет 14.

1.Критерий Римана интегрируемости ограниченной функции в терминах сумм Дарбу, в терминах верхнего и нижнего интегралов и в терминах колебаний.

2.Формула сведения поверхностного интеграла второго рода к двойному в случае явно заданной поверхности. Примеры.

Билет 15.

1.Интегрируемость непрерывной функции на компактном множестве. Интегрируемость ограниченной на компактном множестве функции, множество точек разрыва которой имеет жорданову меру нуль.

2.Оператор Гамильтона и операции над ним. Определение дивергенции и вихря. Дивергенция вихря и вихрь градиента.

Билет 16.

1.Определение фигуры и ее элементарные свойства. Мера фигуры. Монотонность, аддитивность и полуаддитивность меры фигур.

2.Формула Остроградского – Гаусса для элементарной области и ее обобщение на более общие области. Формулы для вычисления объемов тел.

Билет 17.

1.Определение почти куба. Лемма о разложении невырожденного сегмента на почти кубы. Критерий измеримости по Жордану в терминах кубов.

2.Согласованность ориентации стороны поверхности и ее края. Понятие поверхности, натянутой на контур. Теорема Стокса.

Билет 18.

1.Внешняя и внутренняя меры Жордана. Определение измеримого по Жордану множества. Измеримость фигуры и ее внутренности. Примеры счетного и открытого множеств, неизмеримых по Жордану.

2.Потенциальные поля в трехмерном пространстве. Критерий потенциальности в терминах криволинейных интегралов.

Билет 19.

1.Замкнутость системы измеримых по Жордану множеств относительно теоретико-множественных операций. Конечеая аддитивность меры Жордана.

2.Потенциальные поля в трехмерном пространстве. Критерий потенциальности в терминах вихря.

Билет 20.

1.Сегмент и его мера. Аддитивность меры сегментов. Лемма о дизъюнктивном разложении фигуры.

2.Соленоидальные поля. Критерий соленоидальности.

Билет 21.

1.Теорема о замене переменной в кратном интеграле (формулировка)

иследствие об измеримости и мере образа измеримого множества при

C1-диффеоморфизме. Геометрический смысл модуля якобиана.

2. Криволинейный интеграл второго рода и его элементарные свойства (независимость от параметризации, зависимость от ориентации). Примеры.