Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MatAnal2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

19. Интегралы, зависящие от параметра	105

Интеграл в левой части является непрерывной функцией переменной y

(по теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра). Поэтому

Z ξ00

F (y) ≡ e−yx2 dx → F (0) = ξ00 − ξ0 (y → 0).

ξ0

Значит, так как F (y) < ε, то и F (0) = limy→0 F (y) ≤ ε, т. е. ξ00 − ξ0 ≤ ε. Но поскольку ξ0, ξ00 [ξ0, +∞) могут быть выбраны так, чтобы ξ00 − ξ0

было сколь угодно большим, то это означает, что (19.4) не может быть выполнено сразу для всех ξ0, ξ00 [ξ0, +∞). Таким образом, для данного

интеграла нарушено условие Коши, и, значит, он сходится неравномерно.

19.2.2Признаки равномерной сходимости

Теорема (признак Вейерштрасса). Пусть функция f (x, y) задана

на [a, b) × Y , а неотрицательная функция g(x) задана на [a, b). Предпо-

ложим, что обе эти функции интегрируемы по x на любом отрезке

[a, ξ] [a, b). Если для любого x [a, b) и любого y Y справедливо нера-
венство \|f (x, y)\| ≤ g(x) и несобственный интеграл ab g(x) dx сходится,
то интеграл		b		сходится абсолютно и равномерно на Y .
		a f (x, y) dx		сходится абсолютно и равномерно на Y .
		a f (x, y) dx			R
Доказательство.			Эта теорема сразу следует из критерия Коши.
	R		Эта теорема сразу следует из критерия Коши.
Действительно, если a ≤ ξ0 < ξ00 < b, то					ξ0ξ00 g(x) dx (y Y ).
¯ ξ0ξ00	f (x, y) dx¯		≤	ξ0ξ00 \|f (x, y)\| dx ≤	ξ0ξ00 g(x) dx (y Y ).
¯Z		¯		Z	Z
¯		¯

Отсюда, в силу критерия Коши, вытекает абсолютная и равномерная схо-
¯				¯
¯				¯
димость интеграла Rab f (x, y) dx.					+∞ cos xy
Пример 1. Рассмотрим интеграл					0 1+x2 dx. Из очевидного нера-
венства	\| cos xy\|		1	и из сходимости интеграла		+∞	dx	, в силу при-
венства	\| cos xy\|	≤ 1+x2		и из сходимости интеграла		+∞	1+x2	, в силу при-
	1+x2	≤ 1+x2		R		0	1+x2

знака Вейерштрасса, следует, что данный интеграл сходится абсолютно
					R
и равномерно на R.
Пример 2. Рассмотрим		+∞		dx	1	1
Пример 2. Рассмотрим		0	1+x2+y2		. Из неравенства 1+x2+y2 ≤	1+x2
и из сходимости интеграла	+∞ dx			2 , в силу признака Вейерштрасса, вы-
	0		1+x
	R

текает равномерная и абсолютная сходимость данного интеграла на R.

106 Третий семестр

Замечание. Для применения признака Вейерштрасса можно выби-

рать мажоранту g(x) = supy Y |f (x, y)|. Если окажется, что интеграл

Rab g(x) dx сходится, то можно применить признак Вейерштрасса. В про-

тивном случае мы не можем утверждать, что интеграл не является равномерно сходящимся, т. е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости.

Пример 3. Рассмотрим интеграл

+∞ ye−yx2 dx. Он сходится при

y ≥ 0. Найдем supy≥0 |f (x, y)|, где f (x,Ry) = ye−yx2 . Пусть x [0, +∞)

фиксировано. Тогда

fy0 (x, y) = e−yx2 + ye−yx2 ¡−x2¢ = e−yx2 ¡1 − x2y¢ = 0,

если только x2y = 1, т. е. y =

. Поэтому

sup f (x, y)

= f

= x2 e−

≡ g(x).

y≥0 |

µx, x2 ¶

Но интеграл

+∞ g(x) dx =

+∞ dx2 расходится из-за особенности в ну-

0 x

ле. Если

учесть, что исходный интеграл не имеет особенности в нуле, то

это означает, что его равномерная сходимость эквивалентна равномер-

ной сходимости интеграла					+∞ ye−yx2 dx. Если теперь принять во внима-
		+∞			1			+∞ dx
ние, что интеграл		+∞		) dx =		1		+∞ dx	сходится, то, в силу признака
		1	g(xR			e		1 x2	сходится, то, в силу признака
	интеграл			+∞ f (x, y) dx сходится равномерно, а значит, и
Вейерштрасса,	R			1			R
исходный интеграл		сходится равномерно.
исходный интеграл			R

Теорема (признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла). Пусть функции f (x, y) и g(x, y) определены на множестве [a, b) × Y . Предположим, что

a) функция f (x, y) непрерывна по переменной x на [a, b) при каждом фиксированном y Y и такова, что интеграл Rab f (x, y) dx сходится равномерно на Y ;

b) функция g(x, y) непрерывно дифференцируема по переменной x на

[a, b) при каждом фиксированном y Y , монотонна по x при каждом фиксированном y Y и ограничена на [a, b) ×Y , т. е. существует такое

M , что |g(x, y)| ≤ M при всех x [a, b), y Y .

19. Интегралы, зависящие от параметра	107

Тогда интеграл Rab f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно на Y .

Теорема (признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла). Пусть функции f (x, y) и g(x, y) определены на

множестве [a, b) × Y . Предположим, что

a) функция f (x, y) непрерывна по переменной x на [a, b) при каждом

фиксированном y Y и такова, что интеграл			aξ f (x, y) dx равномерно
ограничен на Y , т. е. существует такое M , чтоR			¯	aξ f (x, y) dx	¯	M при
всех ξ	[a, b), y	Y ;	¯		¯
всех ξ	[a, b), y	Y ;	¯R		¯ ≤

b) функция g(x, y) непрерывно дифференцируема по переменной x на

[a, b) при каждом фиксированном y Y , монотонна по x при каждом фиксированном y Y и равномерно стремится к нулю при x → b (x < b), т. е. для любого ε > 0 существует такое ξ0 [a, b), что при любом

ξ [ξ0, b) и при любом y Y справедливо неравенство |g(ξ, y)| < ε. Тогда интеграл Rab f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно на Y .

Доказательство признаков Абеля и Дирихле основано на применении критерия Коши и формулы интегрирования по частям. Пусть a ≤ ξ0 < ξ00 < b. Тогда для y Y имеем

x=ξ

ξ0ξ

f (x, y)g(x, y) dx = F (x, y)g(x, y)¯x=ξ0

− ξ0ξ

F (x, y)gx0 (x, y) dx, (19.5)

где F (x, y) =

ξ0

f (t, y) dt.

Для

доказательства признака Абеля зафиксируем ε > 0 и, пользуясь

равномерной сходимостью интеграла

(x, y) dx на множестве Y , выбе-

рем такое ξ0

[a, b), что для всех ξ0,Rξa00f(ξ0 ≤ ξ0

< ξ00

< b) и для любого

y Y справедливо неравенство

ξ00

¯Zξ0

f (x, y) dx¯ <

Тогда первое слагаемое справа¯

(19.5)

оценим¯

так:

F (ξ00, y)

g (ξ00, y)

−

F (ξ0

, y)

g (ξ0

, y)

F (ξ00, y)

g (ξ00, y)

¯Z

| · |

ξ00

= ¯

ξ0

f (x, y) dx¯

· |g (ξ00, y)| ≤

· M =

108

Третий семестр

Оценим второе слагаемое

¯Z

ξ00

ξ0

,ξ00

] |F (x, y)| ·

ξ0

|gx0 (x, y)| dx =

F (x, y)gx0 (x, y) dx¯ ≤ x [ξ0

sup

¯Z

= x [ξ0,ξ00

ξ0

f (t, y) dt

ξ0

]

· ¯

gx0 (x, y) dx¯ ≤

sup

≤

|g (ξ00, y) − g (ξ0, y)| ≤

(|g (ξ00

, y)| + |g (ξ0, y)|) ≤

ε.

Отсюда следует, что для любых ξ0, ξ00 [ξ0, b) (ξ0 < ξ00) и для всех y Y

справедливо неравенство

¯Z		ξ00	¯		ε		2ε
¯			¯
¯	ξ0		f (x, y)g(x, y) dx¯	≤	3	+	3	= ε,
¯	b		¯
т. е. для интеграла ¯ a		f (x, y)g(x, y) dx выполнено условие Коши равномер-
т. е. для интеграла ¯ a			¯

ной сходимости. В силу критерия Коши, этот интеграл сходится равномерно на Y .

Для доказательства признака Дирихле зафиксируем ε > 0 и, пользуясь равномерной сходимостью к нулю функции g(x, y) при x → b (x < b)

на множестве y Y , найдем такое ξ0, что для всех ξ0 (ξ0 ≤ ξ0 < b) и для

любого y Y справедливо неравенство

|g (ξ0, y)| ≤

Тогда для ξ0 < ξ00 < b и для любого y

первое слагаемое справа в

(19.5) оценим так:

F (ξ

00, y)

g (ξ00

, y)

−

F (ξ0, y)

g (ξ0

, y)

= F (ξ00, y)

g (ξ00, y)

| · |

¯Z

ξ0ξ00

· |g (ξ00, y)| ≤

f (x, y) dx¯

¯Z

ξ0

¯Z

ξ00

≤ Ã¯

f (x, y) dx¯ + ¯ a

f (x, y) dx¯! |g (ξ00, y)| ≤ 2M

1+x2

19. Интегралы, зависящие от параметра

109

Оценим второе слагаемое

¯Z

ξ00

ξ0

≤

ξ0

≤

(x, y) dx

(x, y)

F (x, y)g

sup

f (t, y) dt

Ã x

¯Z

ξ0

≤

f (t, y) dt

≤

+ ¯

¯!

, y)

g (ξ

)

sup

f (t, y) dt

( g (ξ

, y)

≤ 2M · 2 · 6Mε = 23 ε.

Отсюда следует, что для любых ξ0, ξ00 [ξ0, b) и для любых y Y спра-

ведливо неравенство

		¯	ξ0ξ00	f (x, y)g(x, y) dx¯	≤ ε,
		¯Z		¯
		¯		¯
		¯		¯
т. е. для интеграла	b	¯		¯
т. е. для интеграла	a	f (x, y)g(x, y) dx выполнено условие Коши равномер-

ной сходимости. В силу критерия Коши, этот интеграл сходится равномерно на множестве Y .

Пример. Рассмотрим интеграл R1+∞ x sin xy dx. Найдем область сходимости этого интеграла. Если y = 0, то он, очевидно, сходится. При фиксированном y 6= 0 применим признак Дирихле. Обозначим f (x, y) = sin xy, g(x, y) = 1+xx2 . Тогда имеем

Z ξ

так что

x=ξ

f (x, y) dx =

sin xy dx = −

cos xy¯x=1

(cos y − cos ξy) ,

¯Z

| |

f (x, y) dx¯

≤

Далее, функция g(x, y) при каждом y (т. к. она не зависит от y) монотонно

стремится к нулю, так как

g0	(x, y) =	1 + x2 − 2x · x	=	−x2 + 1	≤	0 (x	≥	1).
		(1 + x2)2
x			(1 + x2)2

110 Третий семестр

Следовательно, в силу признака Дирихле сходимости несобственного интеграла, данный интеграл сходится и при y 6= 0. Итак, область сходимости

данного интеграла – множество всех действительных чисел R.

Если |y| ≥ δ > 0, то

¯Z1

f (x, y) dx¯

≤

(|y| ≥ δ).

| ≥

Поэтому на

множестве

δ выполнено условие признака Дирихле рав-

номерной сходимости, в силу которого данный интеграл сходится равномерно на множестве |y| ≥ δ.

Покажем, что на R данный интеграл сходится неравномерно. Если бы он сходился равномерно, то для достаточно больших ξ0 и ξ00 было бы

выполнено неравенство

¯Z

ξ00

x sin xy

dx¯

< ε

ξ0

1 + x2

сразу для всех y

πn

y =

= πn. Тогда для

Возьмем

, ξ

πn2 ≤ x ≤ nπ будет π2

≤ nx ≤ π, так что sin nx ≥ 0, и поэтому

nπ x sin xy

≥

nπ

sin

dx =

1 + x

1 + n

nπ

³−

n ´

¯ 2

nπ

1 + n π ·

1 + n π → π

→ ∞

nπ

n2π

cos

> 0

2 2

nπ

Таким образом, если n достаточно большое, то

n2π

1+n2π2

существует ε0

ε0

= 1

, такое, что для любого ξ0 найдутся

(ξ

n ,

= nπ) и y = 1

такие, что справедливо неравенство

¯Z

ξ00

x sin xy

ξ0

1 + x2

dx¯ ≥ ε0.

1	= ε0, т. е.
4	¡ξ0 = nπ2	¢,
ξ0

Это означает, что для данного интеграла не выполнено условие Коши равномерной сходимости интеграла. Значит, исходный интеграл не является равномерно сходящимся на R.

19. Интегралы, зависящие от параметра	111

19.2.3Связь с функциональными рядами

Ранее было показано, что несобственный интеграл

b ξ

f (x) dx =	lim	f (x) dx
Za	ξ→b, ξ<b Za
сходится тогда и только тогда,	когда для	любой последовательности

{ξn}∞n=0, такой, что ξ0 = a, ξn [a, b), ξn → b (n → ∞), сходится ряд

	∞		ξn f (x) dx. Аналогом этого утверждения для равномерной сходи-
	n=1 ξn−1
мости интеграла, зависящего от параметра, является следующая
P		R

Теорема. Пусть функция f (x, y) задана на [a, b) × Y и при каждом

фиксированном y Y интегрируема по Риману по переменной x на любом отрезке [a, ξ] [a, b). Несобственный интеграл Rab f (x, y) dx сходится равномерно на множестве Y в том, и только в том случае, когда для любой последовательности {ξn}∞n=0, такой, что ξ0 = a, ξn [a, b),

ξn → b (n → ∞), функциональный ряд

∞	ξn	∞
n=1 Zξn−1		f (x, y) dx ≡ n=1 ϕn(y)
X		X

сходится равномерно на Y .

Доказательство. В силу определения, равномерная сходимость интеграла Rab f (x, y) dx равносильна равномерному по y стремлению к нулю при ξ → b (ξ < b) функции

Z b Z ξ Z b

F (ξ, y) = f (x, y) dx − f (x, y) dx = f (x, y) dx.

a a ξ

Последнее, в свою очередь, эквивалентно тому, что для любой последовательности {ξn}∞n=0, такой, что ξ0 = a, ξn [a, b), ξn → b (n → ∞), F (ξn, y) равномерно по y стремится к нулю. Из равенства

	b	b		ξ
F (ξn, y) = Zξn f (x, y) dx = Za			f (x, y) dx − Za		n f (x, y) dx =
=	∞ Z ξk	f (x, y) dx −	n Z ξk	f (x, y) dx =
	X		X

k=1	ξk−1	k=1	ξk−1

112		Третий семестр

∞	ξk	∞
X		X

= f (x, y) dx ≡ ϕk(y) (y Y )

k=n+1 ξk−1 k=n+1

следует, что равномерное по y стремление к нулю последовательности

{F (ξn, y)} равносильно равномерному по y стремлению к нулю остатков

P∞

ряда n=1 ϕn(y), а это равносильно равномерной сходимости этого ряда.

19.2.4Основные свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Теорема 1 (непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция f (x, y) непрерывна на [a, b) ×[c, d]

(−∞ < a < b ≤ +∞) и несобственный интеграл

Z b

I(y) ≡ f (x, y) dx

сходится равномерно относительно y на [c, d]. Тогда функция I(y) непрерывна на [c, d].

Доказательство. Фиксируем y0 [c, d] и задаем ε > 0. В силу равномерной сходимости интеграла на [c, d], найдется такое ξ0 [a, b), что для любого ξ [ξ0, b) и для любого y [c, d] справедливо неравенство

		¯Z	b	¯		ε
		¯		¯
		¯	ξ	f (x, y) dx¯	<	3	.		×
		¯		¯				[a, ξ]	×	[c, d], то, по тео-
Фиксируем	ξ. Так как	x, y)		непрерывна на				[a, ξ]		[c, d], то, по тео-
Фиксируем	ξ. Так как	f ( ¯		¯

реме о непрерывности собственного интеграла по параметру, функция

Raξ f (x, y) dx равномерно непрерывна по переменной y на [c, d]. Поэтому найдется такое δ > 0, что для всех y [c, d], таких, что |y − y0| < δ,

справедливо неравенство

¯¯Z ξ

¯ f (x, y) dx

¯ a

Поэтому

¯¯Z ξ

|I(y) − I (y0)| ≤ ¯

¯ a

	Z	ξ	¯		ε
		ξ	¯
			¯
−	a		f (x, y0) dx¯	<		.
−	a		f (x, y0) dx¯	<	3	.
			¯
			¯

¯	+
f (x, y) dx − Zaξ f (x, y0) dx¯	+
¯
¯
¯

19. Интегралы, зависящие от параметра

113

¯Z

ε ε

f (x, y) dx¯

f (x, y0) dx¯

= ε

¯|

−

для всех y

[c, d], таких, что

< δ.

Замечание. Если в условии теоремы отбросить требование равномер-

ной сходимости, то утверждение теоремы теряет силу. Действительно, ра-

нее мы рассмотрели интеграл							+∞ ye−xy dx и показали, что на области
	Y		[0, + )				0
сходимости		≡		этот	интеграл сходится неравномерно. Функция
			∞			R
	I(y) = Z0+∞ ye−xy dx = Z0+∞ e−t dt = 1 (y > 0),
I(0) = 0, разрывна в точке y0 = 0.
Теорема 2 (дифференцирование несобственного интеграла по
параметру). Пусть функция f (x, y) непрерывна на Π ≡ [a, b) × [c, d]

и имеет на Π непрерывную производную

∂f

. Пусть, далее, интеграл

∂y

b ∂f

[c, d], а интеграл

a f (x, y) dx сходится в точке

a ∂y (x, y) dx схо-

дится равномерно по y на [c, d]. Тогда интеграл

b f (x, y) dx сходится

непрерывно дифферен-

равномерно на [c, d], функция I(y) ≡ a f (x, y) dx

цируема на [c, d]

и справедливо

равенство

b ∂f

I0(y) = Za

(x, y) dx

(y [c, d]).

(19.6)

∂y

Доказательство. Зададим ε > 0 и, пользуясь равномерной сходи-

мостью интеграла

b ∂f

(x, y) dx, найдем такое ξ0

[a, b), что для всех

a ∂y

ξ0, ξ00

[ξ0, b) и для Rлюбого y [c, d] справедливо неравенство

ξ00

∂f

¯Zξ0

∂y

(x, y) dx¯

< ε.

вытекает из критерия Коши. Покажем, что для

Существование такого ξ0

ξ0, ξ00

[ξ , b) и y

[c, d] (y = y

) справедливо неравенство

¯Z

−

ξ00

)

f (x, y

)

dx¯ < ε.

¯ ξ0

f (x, yy − y0

114

Третий семестр

Для этого обозначим Φ(y) =

ξξ0 f (x, y) dx. По теореме о дифференциро-

вании собственного

интеграла, зависящего от параметра, функция Φ(y)

непрерывно дифференцируема на [c, d] и для всех y [c, d]

ξ00 ∂f

|Φ0(y)| =

¯Zξ0

∂y

(x, y) dx¯

< ε.

Поэтому

−

¯Z

ξ00

−

) f (x, y )

Φ(y) Φ (y

)

ξ0

f (x, yy

− y0

dx¯

y − y0

= |Φ0

(y)| < ε,

концами y и y

. Последнее равенство

где y принадлежит интервалу с

справедливо в силу теоремы Лагранжа (формулы конечных приращений). Имеем

¯Z

ξ0ξ00

≤

¯Z

f (x, y) dx¯

ξ0ξ00

f (x, y0) dx¯

+ ¯ ξ0ξ00 (f (x, y) − f (x, y0)) dx¯ ≤

ξ¯

≤ ¯Zξ0

f (x, y0) dx¯

+ ε

|y − y0| (y [c, d]).

f (x, y

Поскольку

интеграл

) dx сходится (по условию), то существует

1 > ξ0, такое, что

, ξ

для любых

[ξ , b) справедливо неравенство

¯Z

ξ0ξ00

f (x, y0) dx¯ < ε.

Тогда получим, что

¯Z

ξ0ξ00

< ε + ε(d − c),

f (x, y) dx¯

где y

[c, d]

произвольное, а

ξ , ξ

[ξ , b). Это означает, что для инте-

грала

ab f (x, y) dx выполнено условие Коши равномерной сходимости. В

силу

критерия Коши, он сходится равномерно на [c, d].

Пусть y1 [c, d], ξ0, ξ00 [ξ0, b). Тогда, как и выше, получаем

¯Z

ξ00

−

ξ0

y − y1

dx¯

Φ(yy − y1

= |Φ0 (

1)| < ε.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.12.2018875.01 Кб2Logika.doc
#
20.05.2015399.52 Кб4makroekonomika.docx
#
25.11.2018441.19 Кб4MAN_Ira.docx
#
20.05.2015568.19 Кб24maple8.pdf
#
02.05.2019278.02 Кб1Maria.doc
#
20.05.20151.88 Mб90MatAnal2.pdf
#
13.07.2019112.48 Кб1Maturana Reality.doc
#
09.09.2019114.69 Кб5Means of Expressing Grammatical Modality.doc
#
29.09.201984.99 Кб0meo.doc
#
20.05.2015346.23 Кб5Mescherkina[1].pdf
#
15.08.201961.44 Кб3Mestoimenie.doc