MatAnal2

Zβ

=[P (x(t), y(t))x0(t) + Q(x(t), y(t))y0(t)] dt.

α

В этой записи первые два интеграла – суть обозначения криволинейного интеграла II рода, а интеграл справа – определение криволинейного интеграла II рода.

Аналогично, в R3 имеем F = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (α ≤ t ≤ β),

ZZ

Zβ

=[P (x(t), y(t), z(t))x0(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y0(t)+

α

+ R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt.

Свойства криволинейных интегралов II рода.

Мы будем рассматривать эти свойства в R2 (изменения на случай произвольного n ≥ 2 очевидны).

1. Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа парамет-

ризации кривой.

Доказательство. Если : r = r(t) (α ≤ t ≤ β) и : ρ = ρ(τ ) (a ≤ τ ≤ b), то t = t(τ ), t(a) = α, t(b) = β и t – кусочно непрерывно дифференцируемая функция переменной τ . Тогда

ZZ β

(F, dr) = [P (x(t), y(t))x0(t) + Q(x(t), y(t))y0(t)] dt =

Zb

=[P (x(t(τ )), y(t(τ )))x0(t(τ )) + Q(x(t(τ )), y(t(τ )))y0(t(τ ))] t0(τ ) dτ =

a

Z b Z

= [P (¯x(τ ), y¯(τ )) x¯0(τ ) + Q (¯x(τ ), y¯(τ )) y¯0(τ )] dτ = (F, dρ),

a

где r(t) = (x(t), y(t)) α ≤ t ≤ β), ρ(τ ) = (¯x(τ ), y¯(τ )) (a ≤ τ ≤ b).

Замечание. Напомним, что r = r(t) и ρ = ρ(τ ) – два параметрических задания кривой , если они, кроме того, что t = t(τ ), сохраняют ориентацию кривой. Другими словами, доказательство свойства 1 имеет силу

Z Z 1 Z 1

y dx + x dy = [t(−1) + (1 − t) · 1] dt = (1 − 2t) dt = 0.

0 0

Замечание. Как в первых двух примерах, так и в двух последних мы вычисляли интегралы от одних и тех же векторных полей вдоль разных кривых, начала и концы которых совпадают. В первой паре примеров интегралы оказались разными, а во второй паре – одинаковыми. Ниже мы увидим, что совпадение интегралов во второй паре примеров не является случайностью.

23.4Формула Грина

Напомним, что областью в R2 называется открытое связное множество.

Замкнутой областью называется объединение области и ее границы. Для дальнейшего нам понадобится следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема Жордана. Каждая простая, непрерывная, замкнутая кривая в R2 разделяет всю плоскость на две области – ограниченную и

неограниченную, причем сама кривая является границей для обеих областей.

Простую непрерывную замкнутую кривую в R2 называют простым контуром. Говорят, что простой контур γ ограничивает область Ω R2, если Ω – ограниченная область, существование которой гарантируется

теоремой Жордана.

Область Ω R2 называется односвязной, если для любого простого контура γ Ω область, ограниченная контуром γ, содержится в Ω.

Введем понятие ориентации простого контура . Будем говорить, что простой контур ориентирован положительно, если при обходе контура ограничиваемая им область остается слева. Противоположно ори-

ентированный простой контур называют отрицательно ориентированным и обозначают через −. Иначе говоря, кусочно гладкий простой контур ориентирован положительно, если в каждой точке простого контура ,

в которой существует касательный вектор, он образует с вектором внутренней нормали правую пару.

Замечане. Данное определение ориентации простого контура носит интуитивный характер. Можно дать и строгое формальное определение ориентации, но мы не будем на этом останавливаться.

Следующая важная теорема устанавливает связь между интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Теорема (формула Грина). Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области Ω R2, а простой кусочно гладкий контур Ω ограничивает область G Ω. Тогда спра-

где ∂G – положительно ориентированная граница области G.

Доказательство. Докажем сначала равенство (23.2) для случая, ко-

гда область G элементарна, т. е.

G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} =

= {(x, y) : c ≤ y ≤ d, α(y) ≤ x ≤ β(y)} ,

где функции ϕ, ψ, α и β – кусочно непрерывно дифференцируемы.

В этом случае, применяя формулу сведения двойного интеграла к по-

Z b Z b Z b

= − [P (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x))] dx = P (x, ϕ(x)) dx− P (x, ψ(x)) dx =

a a a

Z Z Z

= P (x, y) dx + P (x, y) dx + P (x, y) dx+

ABCD DE EF HK

Z Z

+ P (x, y) dx = P (x, y) dx.

KA ∂G

Складывая эти два равенства, получаем (23.2).

Предположим теперь, что область G ограничена кусочно гладкой кривой ∂G и такова, что ее можно разбить кусочно гладкой кривой на две

Далее, применяя метод математической индукции, можно доказать формулу Грина для случая, когда область G с помощью n − 1 кусочно гладких кривых 1, . . . , n−1 разбивается на n элементарных областей

G1, . . . , Gn. В частности, любой многоугольник можно разбить на конеч-

ное число треугольников, т. е. элементарных областей. Таким образом, формула Грина справедлива и для любого многоугольника.

В общем случае произвольной области G, ограниченной кусочно гладким контуром , формула Грина получается, если контур аппроксимировать замкнутой ломаной или, что то же самое, область G аппроксими-

ровать многоугольником.

Формула Грина может быть обобщена и на случай многосвязных областей. Точнее, пусть область G ограничена внешним контуром и n

контурами γ1, . . . , γn. Тогда формально имеет место равенство (23.2), где

R R Pn R

под символом ∂G понимается + i=1 γi .

Положим в формуле Грина Q(x, y) = x, P (x, y) = −y. Тогда получим

Z Z Z

dxdy = 1 x dy − y dx.

G 2 ∂G

234 Четвертый семестр

для любой кусочно гладкой замкнутой кривой G.

Доказательство. Необходимость. Пусть поле (P, Q) потенциаль-

но, т. е. пусть существует такая функция U (x, y), что

Далее, пусть : r = r(t) = (x(t), y(t)) (α ≤ t ≤ β) – произвольная кусочно гладкая, замкнутая кривая, лежащая в G. Тогда

Z Z β

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x(t), y(t))x0(t) + Q(x(t), y(t))y0(t)] dt =

α

=Z β d U (x(t), y(t)) dt = U (x(β), y(β)) − U (x(α), y(α)) = 0.

αdt

Последнее равенство справедливо в силу условия r(α) = r(β), т. е. в силу замкнутости кривой .

Достаточность. Пусть выполнено условие (23.3). Покажем сначала,

R

что в этом случае криволинейный интеграл γ P (x, y) dx + Q(x, y) dy зависит лишь от начальной и от конечной точек кривой γ G и не зависит от самой кривой γ, соединяющей эти точки.

Итак, пусть γ1 : r = r1(t) (α ≤ t ≤ β) и γ2 : r = r2(τ ) (a ≤ τ ≤ b)

– две кусочно гладкие кривые, лежащие в G и такие, что r1(α) = r2(a), r1(β) = r2(b). Тогда кривая = γ1 (γ2)− является замкнутой, и поэтому, в силу условия (23.3),

Z Z Z

0 = P dx + Q dy = P dx + Q dy + P dx + Q dy =

γ1 (γ2)−