MatAnal2

256 Четвертый семестр

Если b = (b1, b2, b3) – произвольный вектор, то запись br будет обо-

значать дифференциальный оператор, определенный равенством

Тогда линейная часть справа в (25.1) может быть записана так:

(M − M0, c) = (M − M0, rf (M0)) = (M − M0, r) f (M0) .

Таким образом, равенство (25.1) можно переписать в следующем виде:

Сформулируем описанные правила обращения с оператором r.

1. Если оператор r применяется к функции (т. е. если справа от r

записана функция f ), то

rf = i ∂f∂x + j ∂f∂y + k ∂f∂z ,

т. е. результатом действия оператора r на функцию f является вектор-

функция.

2. Если вектор b умножается на r (в этом случае он записывается слева от r), то действуем как при обычном скалярном произведении двух

векторов –

Результатом является дифференциальный оператор, а результатом действия этого дифференциального оператора на скалярное поле f (т. е. на скалярную функцию f ) является функция

При этом запись (br)f (M0) обозначает значение этой функции в точке M0.

Упражнение. Покажите, что производная дифференцируемого скалярного поля f в точке M0 по направлению единичного вектора l равна

∂f

∂l (M0) = (lr)f (M0) .

25.1Векторные поля. Дивергенция и вихрь

Пусть в каждой точке области Ω R3 задан вектор a = (a1, a2, a3). В этом случае говорят, что на Ω задано векторное поле.

Задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций a1(x, y, z), a2(x, y, z) и a3(x, y, z), т. е. трех скалярных полей.

Говорят, что векторное поле a дифференцируемо в точке M0, если существует такое линейное отображение A, что

Справа в (25.2) дифференциальный оператор (M − M0, r) применяется к вектору a, т. е. к каждой его компоненте применяется один и тот же

оператор.

Определение. Пусть в области Ω R3 определено векторное поле

a(M ) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Дивергенцией поля a называется следующая скалярная функция:

div a = (r, a) = ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z .

258 Четвертый семестр

Вихрем векторного поля a называется следующая векторная функция:

Можно доказать, что div a не зависит от системы координат, а rot a

зависит лишь от ориентации системы координат.

Итак, с оператором r можно формально обращаться как с обычным вектором. Если функция или вектор записаны слева от r, то действия

производятся по обычным правилам векторной алгебры. В результате такой операции получается новый дифференциальный оператор. Если же функция или вектор записаны справа от r, то в этом случае оператор r

действует как дифференциальный оператор.

Пример 1. Покажем, что div rot a = 0.

Действительно,

div rot a = (r, [r, a]) = (r, r, a) = 0.

Пример 2. Справедливо равенство

rot grad f = [r, rf ] = [r, r]f = 0.

Упражнение. Проверьте справедливость этих двух равенств в координатной записи.

25.2Формула Остроградского – Гаусса

Так называется аналог формулы Грина в трехмерном пространстве. Формула Грина связывает двойной интеграл по некоторой области в R2 с

криволинейным интегралом по границе этой области. Формула Остроградского – Гаусса связывает тройной интеграл по некоторой области в

260 Четвертый семестр

где Σ1 и Σ2 – поверхности, являющиеся графиками функций z = ψ(x, y)

и z = ϕ(x, y) ((x, y) Ω), соответственно. При этом мы учитываем, что поверхность Σ1 ориентирована внешними нормалями по отношению к ∂G, а Σ2 – внутренними нормалями по отношению к ∂G. Если еще учесть, что

Z Z

R(x, y, z) dxdy = 0,

Σ3

где Σ3 – цилиндрическая поверхность –

Σ3 = {(x, y, z) : ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y), (x, y) ∂Ω} ,

то получим

ZZ

=R(x, y, z) dxdy.

∂G

Аналогично, пользуясь тем, что область G элементарна относительно

Складывая все эти три равенства, получим формулу Остроградского – Гаусса (25.3) для элементарной области G.

Дальнейшее обобщение формулы (25.3) на более общие области G про-

изводится точно так же, как и при доказательстве формулы Грина. Именно, сначала доказываем формулу (25.3) для случая, когда область G кусочно гладкой перегородкой Σ может быть разбита на две элементарные относительно каждой из осей области G1 и G2. Если

∂G = Σ1 Σ2, ∂G1 = Σ1 Σ, ∂G2 = Σ2 Σ−

25.3Формула Стокса

Пусть в пространстве R3 задана простая поверхность

Σ : r = r(u, v) ¡(u, v) Ω R2¢ .

Далее, пусть ∂Ω – положительно ориентированная граница области Ω –

задается уравнениями u = u(t), v = v(t) (α ≤ t ≤ β). Образ кривой ∂Ω

при отображении r = r(u, v) называется краем поверхности Σ и обознача-

ется через ∂Σ. Поверхность Σ имеет две стороны, а ее край ∂Σ – кривая в

¡ ¢

R3 – две различные ориентации. При отображении r = r(u, v) (u, v) Ω

мы выбираем ту сторону поверхности Σ, которая определена полем нормалей N = [ru, rv]. Если при этом граница ∂Ω области Ω пробегается в положительном направлении и задается уравнениями u = u(t), v = v(t) (α ≤ t ≤ β), то тем самым определена ориентация края поверхности Σ, т. е. ∂Σ задается уравнением r = r(u(t), v(t)) (α ≤ t ≤ β). В этом случае говорят, что ориентация поверхности Σ согласована с ориентацией края ∂Σ. Можно показать, что такое согласование совпадает с правилом

правого винта.

Определение. Пусть в окрестности поверхности Σ задано непрерыв-

но дифференцируемое векторное поле

a = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) .

Если γ : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (α ≤ t ≤ β) – замкнутый кусочно глад-

(a, dr) = P dx + Q dy + R dz.

γ γ

Говорят, что поверхность Σ натянута на контур γ, если γ = ∂Σ и

ориентация поверхности Σ согласована с ориентацией контура γ.

Теорема Стокса. Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля a по гладкому контуру γ = ∂Σ равна потоку вихря rot a

Доказательство основано на применении следующего равенства: