- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
§6. Комплексные функции
Комплексные функции одного действительного переменного
Определение. Комплексной функцией одного действительного переменного называется отображение R (либо некоторого подмножества из R) в С.
Пусть х принадлежит некоторому множеству Р из R, а F есть комплексная функция от х, определенная на Р. Значение функции F в точке х есть комплексное число F(х), действительная и мнимая части которого суть действительные числа, значение которых зависит от х, т.е. это числовые функции действительного переменного. Таким образом, F(х) = (х) + ig(х), где и g – числовые функции действительного переменного, определенные на P R.
Из определения множества С следует, что оно тождественно множеству R2. Поэтому комплексную функцию F одного действительного переменного можно рассматривать как отображение множества Р в R2 или если Р = R, то F : R R2, либо как упорядоченную пару двух числовых функций одного действительного переменного F (х) = ( (х), g(х)).
Комплексные функции одного комплексного переменного
Определение. Комплексной функцией одного комплексного переменного называется отображение С (либо некоторого подмножества из С) в С.
Пусть Р некоторое множество из С. Если каждому комплексному числу zР при отображение F ставится в соответствие комплексное число F(z), то действительная и мнимая части F(z) суть действительные числа, значения которых зависит от z, стало быть – это будут значения двух числовых функций комплексного переменного z. Таким образом
F(z) = (z) + ig(z).
Но С отождествляется с R2, т.е. каждое комплексное число z = х + iy С отождествляется с точкой (х,у)R2, поэтому мы можем считать и g числовыми функциями двух действительных переменных х и у. Следовательно, можем написать
F(z) = (х,у) + ig(х,у) или F = + ig.
Тогда функция F выступает как отображение R2 в R2, или как упорядоченная пара двух числовых функций двух действительных переменных:
F(z) = ( (х,у), g( х,у)).
Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
Числовая показательная функция х ах (а > 0 и а 1) действительного переменного хR осуществляет взаимно однозначное отображение множество R действительных чисел на множество R+ положительных действительных чисел; это отображение переводит сложение в умножение, т.е. сумме х1 + х2 эта функция ставит в соответствие произведение образов слагаемых:. Существует ли комплексная функцияf комплексного переменного z, определенная на С и такая, что, каковы бы ни были z1С и z2С,
f (z1 + z2) = f (z1) · f (z2).
Установлено, что такая функция f существует и ею является функция z еz, значения которой для любого z = x + iy С определяются следующим образом
f (z) = ex+iy = ех (соsy + i siny).
Действительно, нетрудно показать, что для этой функции имеем
.
Кроме этого свойства показательная функция f (z) = ez обладает также и следующими свойствами:
1. ;
2. (е z) m = e m z , где m – целое число;
3.;
4. где m – целое число.
На основании свойства 4 следует, что показательная функция е z есть периодическая функция с периодом 2 i.