- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
§3. Матричная и векторная формы записи линейных
УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ
С системой (7.1) линейных уравнений можно связать следующие матрицы:
1.Матрицу А коэффициентов аij при неизвестных x1, x2, . . . , xn системы.
Эту матрицу называют основной.
2. Если к основной матрице А присоединить столбец свободных членов в1,в2,...,вk системы, то получим так называемую расширенную матрицу А* данной системы
3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
4. Матрицу-столбец неизвестных размер матрицыn1.
Используя определение произведения матриц, систему (7.1) можно записать в виде
АХ = В (7.4)
Эта форма записи системы линейных уравнений называется матричной. Если при этом матрицу А рассматривать как некоторое отображение пространства Rn в Rk, а матрицы Х и В ассоциировать с вектор-столбцами соответственно иТогда решение системы (7.1) можно свести к вопросу об установлении векторовкоторые являются прообразами векторапри отображенииRn в Rk, заданном матрицей А, т.е.
Кроме матричной, систему линейных уравнений можно записать и в векторной форме. Для этого матрицу А связывают с системой из n вектор-столбцов в пространствеRк.
Тогда система (7.1) примет вид (7.5)
здесь
Исходя из уравнения (7.5) вопрос о решении системы (7.1) можно свести к вопросу об установлении линейной зависимости системы векторов . Так система (7.1) имеет решение, если векторалинейно зависимы. Действительно, из (7.5) следует, что векторявляется линейной комбинацией векторови, следовательно, он принадлежит подпространству, порожденному векторами. Если же векторне принадлежит подпространству, порожденному векторами, т.е. векторалинейно независимы, то система (7.1) решений не имеет. Другими словами система (7.1) имеет решение, если рангr*(A*) системы векторов не превышает рангаr(A) системы векторов , а это означает, что они должны быть равны. Теперь если систему векторовсвязать с расширенной матрицейA*, то вышесказанное можно рассматривать как доказательство следующей теоремы.
Теорема Кронекера – Капелли (условие совместимости системы линейных уравнений): Система линейных уравнений разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг r(A) основной матрицы А равен рангу r*(A*) расширенной матрицы A*: r(A) = r*(A*).
§4. Система крамера
Допустим, что число уравнений в системе (7.1) равно числу неизвестных (k = n) и что вектор-столбцы изRn линейно независимы; в этом случае (7.1) называется системой Крамера.
Поскольку вектор-столбцы линейно независимы, то они составляют базис пространстваRn, следовательно, всякий вектор-столбец представляется и притом единственным способом, в форме (7.5). Таким образом, система Крамера всегда имеет решение, и притом единственное.
Для нахождения этого решения запишем систему Крамера в матричной форме (7.4): АХ = В. Основная матрица А системы Крамера – квадратная, порядка п, и ее определитель отличен от нуля: D(A) , так как вектор-столбцы матрицы линейно независимы. Поэтому матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части уравнения (7.4) на слева:
AX = B.
Поскольку A = E и EX = X, то X = B или
Перемножая на B, получаем
. (7.6)
Откуда ,
где j = 1, 2,...,n, а A1jв1 + A2jв2 +....+ Anjвn – определитель матрицы, которая получена из основной A путем замены элементов j-го столбца, т.е. коэффициентов при определяемом неизвестном xj на столбец свободных членов в1, в2,...,вn системы. Таким образом,
.
Теперь вышесказанное сформулируем в виде следующего правила.
Правило Крамера. Если определитель D(A) основной матрицы А системы из n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля (D(A) то система имеет единственное решение и это решение определяется по формуле:
,j = 1,2, ..., n, (7.7)
где D(Aj) – определитель, полученный из D(A) заменой j-го столбца, столбцом свободных членов системы.
Пример. Решить систему уравнений.
3x – 3y + 2z = 2,
4x – 5y + 2z = 1,
5x – 6y + 4z = 3.
Вычислим определитель основной матрицы А:
.
Так как D(A) , то это система Крамера и, следовательно, она имеет одно решение, которое ищем по формуле:
Ответ: х1 = х = 1; х2 = у = 1; х3 = z = 1.