5.2. Основные свойства базиса

Пусть есть любой вектор изК размерности n; так как он линейно зависит от базиса , то вР найдутся такие числа  _ . . ., _n, не все равные нулю, что . При этом  , ибо в противном случае были бы линейно зависимы. Так какР есть поле, то существует . После умножения наполучим:, где,i =1,2,...,n.

Таким образом, векторное пространство К порождено базисом , а данное выражение называетсяразложением вектора по базису. Числаназываютсякомпонентами (координатами) вектора в базисе.

Теорема. (Основное свойство базиса) Представление любого вектора из пространстваК через его базис единственно, или другими словами, в заданном базисе компоненты вектора определяются однозначно.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна и вектор в базисеимеет различные компонентыи. Тогда вычитая эти равенства, получим. Поскольку векторалинейно независимы, тои отсюда.

Замечание. Один и тот же вектор в различных базисах имеет разные компоненты.

В качестве наглядного примера рассмотрим пространство свободных векторов.

5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов

Выберем систему, состоящую из трех упорядоченных свободных векторов . Случай, когда эта система векторов линейно зависима, нами уже рассмотрен в предыдущем параграфе п.4.5. Теперь рассмотрим ситуацию, когда система из трех векторовлинейно независима, т.е. это упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема. Присоединение любого свободного вектора к системе из трех некомпланарных свободных векторовделает ее линейно зависимой, или другими словами: любой свободный векторявляется линейной комбинацией трех упорядоченных некомпланарных векторов и это представление единственно. Тем самым мы установим, что совокупность трех упорядоченных некомпланарных векторовявляется базисом пространства свободных векторов и его размерность равна трем.

Доказательство. Отложим все векторы ,от одной и той же точкиА:. Пусть F – проекция точки В₄ на плоскость АВ₁В₂ параллельно прямой АВ₃, а Q – проекция точки F на прямую АВ₁ параллельно прямой АВ₂. Тогда Векторы соответственно коллинеарны векторам . Полагаяполучими, следовательно,, т.е. векторы,линейно зависимы.

Таким образом, базис пространства свободных векторов состоит из трех упорядоченных некомпланарных векторов. Если в качестве базисных векторов выбрать три упорядоченных вектора, которые изображаются направленными отрезками, параллельными соответственно трем осям прямоугольной декартовой системы координат x, y, z и модуль каждого вектора равен масштабному отрезку этих осей, то такой базис называется ортонормированным базисом. Первые два базисных вектора, как и на плоскости, обозначают , а третий базисный вектор, параллельный осиOz, обозначается , и называются эти вектораортами. Координаты этих векторов будут: . Такой выбор базисных векторов обусловлен тем, что в разложении любого векторапо ортонормированному базису,коэффициентами разложения являются координатыx,y,z вектора :=.

Рассмотрим выражение скалярного произведения двух векторов и, разложенных по ортонормированному базису, т.е.и. Тогда

=

. Но так как – попарно перпендикулярные (ортогональные) вектора и модуль их равен единице, то

, значит =x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат только в том случае, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе.