2. Состояние системы Параметры системы и описание её состояние

Состояние любой реальной системы, в каждый данный момент времени можно описать с помощью некоторого множества, характеризующий систему величин – параметра.

Количество параметров, даже для относительно простой системы может быть очень большим, и поэтому практически для описания систем используется лишь наиболее существенные, характерными для нее параметрам, соответствующим конкретным целям изучения объектов. Так для исследования состояния здоровья человека с точки зрения необходимости освобождения его от работы во внимание в первую очередь принимают значения таких параметров, как температура и кровяное давление.

Состояние некоторой экономической системы характеризуется такими параметрами, как количество и качество выпускаемой продукции, производительность труда, фонда отдачи и т.д.

Для описания состояния и движения системы можно применять такие способы, как словесное описание, табличное или матричное описания, математические выражения и графические изображения.

Словесное описание сводится к последовательному перечислению и характеристики параметров системы, тенденции их изменения, последовательности смены состояния системы. Словесное описание является весьма приблизительным и дает лишь общие представления о системе, кроме того, в значительной степени субъективно, т.к. отображает не только истинные характеристики системы, но и отношения к ним описывающего их человека.

Таблицы и матрицы получили наиболее широкое распространение для количественной характеристики системы, выражаемой значениями их параметров в некоторой фиксированной моменты времени. По данным таблицы или совокупности таблиц, соответствующие различным моментам времени могут быть построены диаграммы и графики, дающие наглядное представление по динамики системы.

Для описания движения системы и изменения её элементов применяются математические выражения, которые в свою очередь интерпретируются графиками, отображающие протекание тех или иных процессов в системе.

Однако наиболее глубокой и адекватной является формализованная геометрическая интерпретация состояния и движения системы в так называемом пространстве состояний или фазовом пространстве.

Пространство состояний системы

Пространством состояния системы называется пространство, в каждой точке которого однозначно соответствует определенное состояние рассматриваемой динамической системы, а каждому процессу изменения состояния системы соответствует определенная траектория перемещения изображающей точки в пространстве.

Для описания движений динамических систем широко используется метод основанный на используемый, так называемого, фазового пространства (n мерного эвклидова пространства), по осям которого откладываются значения всех n обобщенных координат, рассматриваемой динамической системы. При этом однозначное соответствие между состоянии системы и точками фазового пространства достигается выбором числа измерений, равного числу обобщенных координат рассматриваемой динамической системы.

Обозначим параметрами некоторой системы символами z1, z2…zn, который можно рассматривать, как координаты вектора z, n мерного пространства. Такой вектор есть совокупность действительных чисел z=(z1,z2..zn). Параметры z1, z2…zn будут называться фазовыми координатами системы, а состояния (фазу системы) изобразим точкой z в фазовом пространстве. Размерность этого пространства определяется числом фазовых координат, то есть числом отобранных нами для описания системы, её существенных параметров.

В том случае, когда состояния системы можно охарактеризовать только одним параметром z1 (например, расстояния от пункта отправления поезда движущегося по некоторому заданному маршруту), то фазное пространство будет одномерным и отображаться в виде участка оси z.

Если состояние системы характеризуется 2умя параметрами z1 и z2 (например, движения автомобиля, выраженное углом относительно некоторого заданного направления и скоростью его движения), то фазовое пространство будет двухмерным.

В тех случаях, когда состояние системы описывается 3ьомя параметрами (например, управления скорость и ускорение), оно будет изображаться точкой в трьохмерном пространстве, а траектория движения системы будет пространственно кривой в этом пространства.

В общем случае, когда число параметров, характеризующую систему произвольно и как в большинстве сложных экономических систем значительно больше 3, геометрическая интерпретация теряет наглядность. Однако геометрическая терминология и в этих случая остается удобной для описания состояния и движения систем, в так называемом n мерном или многомерном фазовом пространстве (гипер пространстве).

Число независимых параметров системы называют числом степеней свободы или вариантностью систем.

В реальных условиях работы системы и её параметров (фазовые координаты), как правило, могут изменятся лишь в некоторых ограниченных приделах. Так скорость автомобиля ограничена приделами от 0 до 200 км в час, температура человека – от 35 градусов до 42 и т.д.

Область фазового пространства за пределы, которого не может выходить изображающая точка, называют областью допустимых состояний системы. При исследования и проектирования систем всегда исходит из того, что система находится в пределах в области её допустимых состояний.

Если изображающая точка выйдет за пределы этой области, то это грозит разрушением целостности системы, возможностью её распада на элементы, нарушением существующих связей, то есть полным прекращением её функционирование как данная система.

Область допустимых состояний, которую можно назвать полем системы, включает в себя всевозможные фазовые траектории, то есть линии поведения систем. Совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. Во всех случаях, когда параметры системы могут принимать в определенном интервале любые значения, то есть изменяется плавно изображающая точка, которая может располагаться в любой точке внутри области допустимых состояний, при этом мы имеем дело с так называемым непрерывным пространством состояний. Однако существует большое количество технических, биологических и экономических систем, в которых ряд параметров – координат могут принимать лишь дискретные значения.

Только дискретно можно измерить количество станков в цехе, количество тех или иных органов и клеток в живом организме и т.д.

Пространство состояний таких систем должно рассматриваться как дискретное, поэтому их точка, изображающая состояние такой системы, не может находится в любом месте, области допустимых состояний, а только в определенных фиксированных точках этой области. Изменение состояния таких систем, то есть их движения, будет интерпретироваться скачками изображающей точки из одного состояния в другое, в третье и т.д. Соответственно и траектория движения изображающей точки будет иметь при этом дискретный, прерывистый характер.