ПЗ-2, учебный вариант Теория Вероятности

17

Контрольное задание

Получена выборка экспериментальных данных, таблица 1.

Объем выборки n = 100.

Таблица №1

2,930955	18,82279	15,46526	11,05093	12,75265
12,4802	11,59035	13,80837	8,02569	11,12472
9,402647	8,461252	17,11493	13,3797	13,88409
14,61979	4,201774	16,33387	7,237908	12,82988
12,64417	4,89219	12,29642	4,87691	12,5475
11,84858	11,06684	8,790382	16,19094	10,93536
10,8464	12,23835	11,71442	10,21469	8,91064
15,77663	12,53817	9,835766	10,18777	9,734799
14,77873	12,77375	15,27131	12,66651	11,43382
13,99153	12,81582	9,576581	13,49762	14,55587
9,185835	9,092541	14,3131	14,95406	12,12867
15,22675	13,26237	15,02877	13,80672	18,97793
13,66455	11,62899	20,17825	11,88672	14,03812
12,1018	10,86121	22,2818	9,532107	10,808
10,46117	7,259627	12,84969	13,96472	9,125399
5,488527	12,81987	11,18109	11,76257	13,21538
8,003507	14,35035	10,12708	11,68328	11,93907
10,96025	14,5529	10,40329	16,91018	7,422831
8,855913	12,14958	14,98515	13,97126	13,57112
9,088503	10,4436	6,054197	8,292809	12,03615

1. Проверьте гипотезу о нормальном распределении выборки данных, используя критерий ² – Пирсона. Уровень значимости  = 0,05.

2. С помощью критерия Колмогорова проверьте гипотезу о нормальном законе распределения выборки данных с математическим ожиданием m = 12 и средним квадратическим отклонением  = 3,3.

3. Найдите доверительный интервал для математического ожидания I_ (m) и дисперсии I_ (D) с доверительной вероятностью  = 0,9.

4. Найдите доверительный интервал для следующего (n+1) значения выборки с доверительной вероятностью  = 0,9.

5. Проверьте гипотезу H₀: m = 10 при альтернативной гипотезе H₁: m  10

6. Проверьте гипотезу H₀:  = 3 при альтернативной гипотезе H₁:   3

1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения выборки экспериментальных данных с помощью критерия ² – Пирсона. Уровень значимости  = 0,05.

1.1. H₀: f(x) = N(m, ). m и  – неизвестны.

1.2. Размах выборки: x_min = 2,930955; x_max = 22,2818;

R = x_max – x_min = 22,2818 – 2,930955 = 19,35085

1.3. Число интервалов группировки

k = 1,443·ln n +1 = 1,443·4,605 + 1 ≈ 8

(формула Стерджеса при n > 60 дает заниженное значение интервала группировки)

k = = 11 – как в Excel, более подходящая формула.

1.4. Длина интервала группировки

=

Границы интервалов группировки:

x_min = 2,930955; x_max = 22,2818;

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

1.5. Построение гистограммы и формулировка гипотезы о теоретическом законе распределения

Гипотеза о теоретическом законе распределения H₀ формулируется по виду гистограммы. Для построения гистограммы составляется таблица, (таблица №2).

– интервалы группировки;

n_i – количество элементов выборки, попавших в i – ый интервал группировки

Таблица №2

i		ni	n·pi
1	– 2	0
2	2 – 4	1
3	4 – 6	4
4	6 – 8	4
5	8 – 10	16
6	10 – 12	24
7	12 – 14	29
8	14 – 16	14
9	16 – 18	4
10	18 – 20	2
11	20 – 22	1
12	22 – 24	1
13	24 –	0

m_i

29

24

16

14

4

4

1 2 1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x

Рис. 1. Гистограмма частот.

По виду гистограммы можно сделать предположение о нормальном законе генеральной совокупности.

H₀: f(x) = N(m, ). .

В качестве оценки математического ожидания и дисперсии можно принять их выборочные значения.

= 11,91854 – оценка математического ожидания;

= 10,8683 – оценка дисперсии

= 3,296711 оценка среднего квадратического отклонения

1.6. Вычисление статистики

p_i – отыскивается по таблице Лапласа, приложение 2, тема 12.

n·p₁ = 100·0,00135 = 0,135 (0,1312204)

n·p₂ = 100·0,00685 = 0,685 (0,6841755)

n·p₃ = 100·0,0285 = 2,85 (2,8150183)

…………………………………………………………….

n·p₇ = 100·0,2457 = 24,57 (22,9558513)

……………………………………………………………

n·p₁₃ = 100·0,000159 = 0,0159 (0,01238131)

Таблица №3

i		mi	n·pi
1	– 2	0	0,13122042
2	2 – 4	1	0,68417551
3	4 – 6	4	2,8150183
4	6 – 8	4	8,09905099
5	8 – 10	16	16,3004005
6	10 – 12	24	22,9558513
7	12 – 14	29	22,6245502
8	14 – 16	14	15,6046968
9	16 – 18	4	7,53102502
10	18 – 20	2	2,54244697
11	20 – 22	1	0,60016808
12	22 – 24	1	0,09901462
13	24 –	0	0,01238131

Таблица №4

i		ni	n·pi
1	– 2
2	2 – 4
3	4 – 6
4	6 – 8	9	11,7294652	0,635151
5	8 – 10	16	16,3004005	0,005536
6	10 – 12	24	22,9558513	0,047493
7	12 – 14	29	22,6245502	1,79656
8	14 – 16	14	15,6046968	0,165018
9	16 – 18	8	10,785036	0,719184
10	18 – 20
11	20 – 22
12	22 – 24
13	24 –
				U = 3,369

…………………………………………….

– по таблице распределения ХИ – квадрат с k – 2 степенями свободы, для уровня значимости статистики U  = 0,05

	Карман	Частота	np	U
	2
	4
	6
	8	9	11,7294652	0,635151
	10	16	16,3004005	0,005536
	12	24	22,9558513	0,047493
	14	29	22,6245502	1,79656
	16	14	15,6046968	0,165018
	18	8	10,785036	0,719184
	20		100	3,369
	22
	24
	Еще	0		5,991465
		100

2. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с заданным математическим ожиданием m = 12 и средним квадратическим отклонением  = 3,3 с помощью критерия Колмогорова. Уровень значимости  = 0,05.

При проверке согласия по критерию Колмогорова используется статистика, расчетное значение которой вычисляется с помощью формул

;

;

.

При больших значениях n ≥ 100 используется статистика, расчетное значение которой вычисляется по формуле

Для наиболее употребительных уровней значимости составлена короткая таблица критических значений распределения Колмогорова

	0,15	0,1	0,05	0,025	0,02	0,01	0,005	0,001
	1,138	1,2238	1,3581	1,4802	1,5174	1,6276	1,7508	1,9495

Составляется таблица

j	xj	j/n	F(xj)	(1-j)/n	j/n - F(xj)	F(xj) – (j-1)/n
1
2
…
n

,

Для заданного уровня значимости  = 0,05 по таблице

критических значений распределения Колмогорова

находят критическое значение статистики .

	0,15	0,1	0,05	0,025	0,02	0,01	0,005	0,001
	1,138	1,2238	1,3581	1,4802	1,5174	1,6276	1,7508	1,9495