3. Вопросы для самопроверки.

1. Сформулировать определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Как составить уравнение касательной?

4. Каков геометрический и механический смысл производной?

5. Как найти производную неявной функции? Параметрической функции?

6. Функция непрерывна в т. x_0. Следует ли отсюда дифференцируемость функции?

7. В чём заключается геометрический смысл дифференциала функции?

8. Записать формулу, используемую в приближённых вычислениях. Найти приближённое значение

Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.

Пискунов, гл. V, §1-12, упр 1-134

Данко , ч. I, гл. 3

0. План исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции. Решение этого вопроса указывает на те интервалы оси (ОХ), над которыми пройдёт график и на те значения аргумента x, над которыми график не пройдёт, а также в каких точках пройдут вертикальные асимптоты.

2. Исследовать на чётность, нечётность. Решение этого вопроса облегчает построение.

3. Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости.

4. Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости.

5. Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия для существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость.

7. Исследовать поведение функции на концах области определения. Это поможет при построении графика.

8. Можно взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика.

9. Построить график.

Задача 1. Исследовать функцию у = 1п(х² — 6х +10) и построить ее график.

Решение:

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком ло­гарифма, можно представить так: х²—6x+10=(x-3)²+ 1. Как видно, под знаком логарифма будет положи­тельное число при любом значении аргументах. Следо­вательно, областью существования данной функции слу­жит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не яв­ляется ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим пер­вую производную:

Знаменатель х²- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функ­ция имеет минимум:

Итак, A(3; 0) - точка минимума . Функция убывает на интервале (- ¥ , 3) и возрастает на интервале (3, + ¥).

5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала: ( - ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интерва­лах вторая производная отрицательна, а во втором ин­тервале положительна. При x₁ = 2 и х₂ = 4 вторая произ­водная меняет свой знак. Эти значения аргумента явля­ются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:

Следовательно, P₁(2; ln 2) и P₂(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интерва­лах ( - ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4).

6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты y=kx+b вос­пользуемся формулами:

Имеем

Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:

Итак, кривая не имеет асимптот.