Вопросы для самопроверки

1. Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий,

2. Какие события называются несовместимыми? совместимыми? противоположными?

3. Что называется относительной частотой события?

4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

8. Напишите формулу полной вероятности.

9. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

10. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

11. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

12. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики

гл. 6. § 1—3, гл. 7. 8. 10. 11;

[7] № 165. 176. 188. 210, 254. 263, 276, 328, 341.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 40 42 41 44

Р 0,1 0,3 0,2 0,4

Найти: 1) математическое ожидание М(Х);2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение .

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х …

Р …,

где в первой строке даны значения случайной величины X, а во второй - вероятности этих значений, то математическое ожидавшие М(Х) вычисляется по формуле

М(Х) =.

Тогда М(Х) =.

2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от М(Х). Из последней формулы имеем

Дисперсию D(Х) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной ве­личины X и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть

.

Для вычисления М (X²) составим следующий закон распреде­ления величины Х

Х40424144

Р 0,1 0,3 0,2 0,4

Тогда

и

D(X)=1799.8-42.4

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонениеслучайной величи­ныX, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть

.

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина X задана ин­тегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x);2)математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D (X).

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x)непрерывной случайной величины X называется про­изводная от интегральной функции распределения F(х), то есть

F(x)=F’(x).

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

f(x)=

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой

М(Х)=.

Так как функция f(х) при хравна нулю, то из последней формулы имеемМ(Х)=f(x)dx=dx=

3) Дисперсию D(Х) определим по формуле

D(Х)= .

Тогда

D(Х)=

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожи­данием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой де­тали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность то­го, что длина детали отклонится от ее математического ожи­дания не более чем 1,5 мм.

Решение: 1) Пусть X — длина детали. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(х), то ве­роятность того, что X примет значения, принадлежащие отрез­ку [;], определяется по формуле

Pf(x)dx.

Вероятность выполнения строгих неравенств опреде­ляется той же формулой. Если случайная величина X распре­делена по нормальному закону, то

, (1)

Где Ф(х) - функция Лапласа, а=М(х), D(x).

В задаче а = 40, = 34,=43, =3. Тогда

2) По условию задачи , гдеа = 40; =1,5.

Подставив в (1) ,,имеем

,то есть

(2)

Из формулы (2) имеем:

.

Вопросы для самопроверки

1. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной ве­личины? Как задается закон распределения дискретной слу­чайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискрет­ной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4. Дайте определение интегральной функции распределе­ния; дифференциальной функции распределения. Перечисли­те свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и диспер­сия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормаль­ного закона распределения.

7. Напишите формулу для определения вероятности по­падания значений нормально распределенной случайной ве­личины в заданный интервал.

8. Сформулируйте правило «трех сигм».

9. Назовите сущность закола больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.

11. Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.