Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убываю­щей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критически­ми?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кри­вой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти верти­кальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее трафика.

11. В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?

Тема 7. Функции нескольких переменных

[2] гл. XX; [3] № 1854, 1862, 1885, 1926, 2032, 2048.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции двух независимых переменных. Приведите примеры.

2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображе­ние функции двух переменных?

3. Что называется частным и полным приращением функ­ции двух независимых переменных?

4. Сформулируйте определение предела функции двух пе­ременных.

5. Какая функция называется непрерывной в точке? в об­ласти?

6. Дайте определение частных производных первого по­рядка функции двух переменных. Каков их геометрический смысл?

7. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

8. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?

9. Что является необходимым условием экстремума функ­ции двух переменных?

10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменны.

Тема 8. Неопределенный интеграл

[2] гл. XIII; [3] № 1264, 1267, 1286, 1318, 1363, 1365, 1426, 1572.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Перечислите основные свойства неопределенного инте­грала.

4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

5. В чем сущность метода интегрирования заменой пере­менной?

6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопре­деленном интеграле.

Тема 9. Определенный интеграл

[2] гл. XIV, XV; [3] № 1598, 1607, 1612, 1619, 1622, 1629, 1636, 1670, 1686.

Разберите решение задачи 11 данного пособия.

Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ниями у=х²+4х, у=х+4 (рис. 8).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями у=f(х) и у=(х), пересекаю­щимися в точках с абсциссами х=а и х=b, определяется по формуле

S=(1)

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

х+4х=х+4, х+3х-4=0, откуда х=-4, х=1.

Применяя формулу (1), получим:

S= (кв.ед.).

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенно­го интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции у =f (х) на отрезке [а;b ].

3. Что называется определенным интегралом от функции у =f(х) на отрезке [а;b ].

4. Каков геометрический смысл определенного инте­грала?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона—Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в опре­деленном интеграле.

9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?

10. Дайте определение несобственного интеграла с беско­нечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.