Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, п-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линей­ных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг мат­рицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линей­ных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линей­ных уравнений и неравенств?

Тема 4. Введение в анализ

гл. VI § 1-9; [3] № 683, 685, 700. 701;

|гл. VII § 1 —13; [3] № 716, 734, 736, 738, 744, 747, 782, 789;

гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

а) , б)(,

в) , г).

Решение. а) Подстановка предельного значения аргу­мента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида

.

Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля три х:

==;

б) При х выражение дает неопределен­ность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на (:

(==;

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и у при х. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

=;

г) При х выражение является неопреде­ленностью вида 1. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой прих величины и применим формулу второго за­мечательного предела:

.

Тогда имеем : .

Пусть 2х+1=-4у. Тогда 4х+5=-8у+3 и упри х. Переходя к переменной у, получим:

.

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию у =. Рис.4

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на интервалах (-;1) и (1;) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? об­ластью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назо­вите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приве­дите примеры.

5. Что называется пределом числовой последователь­ности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функций.

8. Какая функция называется бесконечно малой? беско­нечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого « второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определения односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на от­резке функций.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2