- •Краткие теоретические сведения
- •1. Механические колебания и волны.
- •2. Молекулярная физика и термодинамика.
- •3. Явления переноса
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Справочные данные Универсальные постоянные
- •Постоянные газов
- •Варианты заданий для самостоятельной работы
- •190206, 151001, 150201, 150202, 150502 Всех форм обучения
3. Явления переноса
3.1. Среднее число соударений, испытываемых молекулой идеального газа за 1 с:
,
где — эффективный диаметр;— средняя арифметическая скорость;— концентрация молекул.
3.2. Средняя длина свободного пробега молекул газа:
.
3.3. Закон Фика для диффузии газа:
,
где — масса вещества, диффундирующего за времячерез поверхность площадью, перпендикулярной направлению переноса вещества;— градиент плотности газа в направлении, перпендикулярном к поверхности;— коэффициент диффузии.
3.4. Закон Фурье для теплопроводности газов:
,
где — количество теплоты, которое переносится за времячерез поверхность площадью, перпендикулярной направлению переноса тепловой энергии;— градиент температуры газа в направлении, перпендикулярном к поверхности;— коэффициент теплопроводности (теплопроводность).
3.5. Закон Ньютона для внутреннего (вязкого) трения в газах:
где — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа площадью;— динамическая вязкость.
Примеры решения задач
Маятник колеблется по закону . В момент времени= 0 смещение маятника от положения равновесия =5 см, а скорость =10 см/с. Определить амплитуду и начальную фазу колебаний, если круговая частота = 2 рад/с.
Решение:
Из закона движения маятника получаем, что в момент времени = 0
. (1)
Скорость колебаний маятника определяется по формуле:
,
и в момент времени = 0
. (2)
Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим:
.
Отсюда начальная фаза колебаний:
.
Амплитуду колебаний находим из уравнения (1):
Ответ: ,.
Вывести дифференциальное уравнение малых свободных колебаний физического маятника, а также формулы периода и круговой частоты этих колебаний.
Решение:
Физический маятник — твердое тело массой , с моментом инерции , имеющее ось вращения , расположенную вышецентра тяжести .
Тело совершает вращательно–колебательные движения под действием момента силы тяжести, приложенной в центре тяжести
.
Для малых колебаний ,. Таким образом,
.
По второму закону Ньютона для вращательного движения:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение малых свободных колебаний физического маятника:
.
Это уравнение тождественно уравнению гармонических колебаний:
.
Следовательно, малые колебания физического маятника происходят по гармоническому закону:
с собственной круговой частотой и периодом.
Период затухающих колебаний равен = 2 с, логарифмический декремент= 0,2. Определить коэффициент затухания, добротность и время релаксации колебаний.
Решение:
По определению логарифмический декремент затухания равен:
.
Отсюда получаем коэффициент затухания:
.
Добротность колебаний равна:
,
а время релаксации:
.
Ответ:
Упругая волна распространяется со скоростью = 5300 м/св стержне плотностью = 7,8 г/см3. Найти модуль упругости (модуль Юнга) стержня.
Решение:
Скорость упругих волн в тонком твердом стержне определяется по формуле:
,
где — модуль Юнга;— плотность материала стержня.
Отсюда находим модуль Юнга (модуль упругости) для стержня:
Ответ:
Найти массу воздуха при температуре 27°С, давлении 1 атм и объеме 72 м3 .
Решение:
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева ─ Клапейрона):
где — давление;— объем;— абсолютная температура газа;— универсальная газовая постоянная.
Отсюда получаем формулу для расчета массы воздуха:
Абсолютная температура Т = t˚C + 273 K = 27˚C + 273 K = 300 K,
1 атм = 1,013∙105 Па.
Подставив численные данные в расчетную формулу, получаем:
Ответ:
Определить концентрацию молекул водорода, если среднеквадратичная скорость его молекул u = 900 м/с, давление = 100 кПа.
Решение:
Связь между давлением и средней кинетической энергиейпоступательного движения молекулы идеального газа (основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов):
, (1)
где — концентрация молекул. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа:
, (2)
где ― масса одной молекулы;— средняя квадратичная скорость молекулы.
Массу молекулы найдем, разделив молярную массу водорода на число молекул в одном моле(постоянную Авогадро):
. (3)
Подставив (3) в (2), а затем (2) в (1), получим:
Отсюда
Ответ:
При изобарном нагревании 10 моль гелия было затрачено 2078 Дж тепла. Найти работу, изменение внутренней энергии и температуры гелия.
Решение:
Количество теплоты , необходимое для нагревания ν молей газа в изобарном процессе, можно найти по формуле:
(1)
где — молярная теплоемкость газа в изобарном процессе; i — число степеней свободы молекулы; R ― универсальная газовая постоянная, — изменение температуры. для гелия i = 3 и, следовательно,
(2)
Подставив (2) в (1), найдем изменение температуры:
Работа при изобарном нагревании определяется по формуле:
Изменение внутренней энергии найдем с помощью первого закона термодинамики:
Ответ: А = 831 Дж; ΔU = 1247 Дж; ΔT = 10 K.
Определить КПД идеального двигателя и температуру холодильника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученного от нагревателя, двигатель совершает работу 350 Дж. Температура нагревателя 227 °С.
Решение:
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя равен:
где — теплота, полученная двигателем от нагревателя;— работа, совершенная двигателем.
Численный расчет:
КПД идеального теплового двигателя определяется по теореме Карно:
,,
где — температура нагревателя;— температура холодильника. Отсюда находим температуру холодильника:
Tх = Tн(1─ηmax).
Абсолютная температура нагревателя:
Численный расчет:
Ответ:
Найти среднюю длину свободного пробега молекулы кислорода, если плотность газа равна 0,064 кг/м3.
Решение:
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
где — эффективный диаметр (эффективный диаметр молекулы кислорода находим в справочной таблице:d = 0,29 нм); — концентрация молекул.
Плотность газа равна:
где — масса молекулы; — молярная масса газа; — постоянная Авогадро.
Отсюда находим концентрацию молекул:
Численный расчет:
Ответ:
Найти коэффициент теплопроводности воздуха при давлении = 101 кПа и температуре= 300 К.
Решение:
Коэффициент теплопроводности определяется по формуле:
, (1)
где — плотность;— молярная теплоемкость при постоянном объеме;— средняя арифметическая скорость;— средняя длина свободного пробега молекул воздуха.
Плотность воздуха определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
,
где — давление;— объем;m — масса; μ— молярная масса; — абсолютная температура газа4— универсальная газовая постоянная. Отсюда плотность:
(2)
Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме:
, (3)
где i = 5 ― число степеней свободы молекулы воздуха.
Средняя арифметическая скорость молекул:
(4)
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
где — эффективный диаметр (эффективный диаметр молекулы воздухаd = 0,35 нм), — концентрация молекул.
Плотность газа равна:
где — масса молекулы, — постоянная Авогадро. Отсюда находим концентрацию молекул:
и среднюю длину свободного пробега молекул:
(5)
Подставив (2), (3), (4), (5) в формулу (1), получим:
Ответ: