В) По определению 3.15 1 0 0
R = R = 1 1 0 1 1 1
Обычное отношение можно рассматривать как частный случай более широкого понятия – нечёткого отношения, основанного на понятии нечёткого множества.
Определение 3.16
Нечётким отношением R на множестве Х |
|
называется нечёткое подмножество |
|
декартова произведения |
Х х Х, для |
которого функцией принадлежности |
|
является функция |
(x, y) этой |
: Х х Х→[0, 1]. Значение |
|
функции понимается как степень |
|
выполнения отношения xRy. |
|
Если Х – конечное множество, то функция нечёткого отношения R представляет собой квадратную матрицу, элементами которой могут быть произвольные числа из отрезка [0, 1]. Если элемент этой матрицы равен αϵ[0,1], то это значит, что степень выполнения отношения xᵢRyᵢ равна α.
Определение 3.17
Носителем нечёткого отношения R на множестве Х называется подмножество декартова произведения Х х Х вида
suppR = {(x, y)ϵ Х
Х |
Определение 3.18
Нечёткие множества С = R U R и D = R R , для которых функции принадлежности соответственно равны
(x, y) = max{ |
x, y), |
(x, y)}, |
(x, y) = min{ |
(x, y), |
(x, y)}, |
Называются объединением и пересечением нечётких отношений R и R на множестве Х.
Определение 3.19
Если R – нечёткое отношение на множестве Х, то нечёткое отношение R’ , характеризующееся функцией принадлежности
(x, y) = 1 - |
(x, y) , x, y ϵ X, |
Называется дополнением в Х отношения R.
Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения R = (лучше) его дополнение есть R’= (не лучше).
Определение 3.20 Максминное произведение
R ◦ R нечётких отношений R и R на множестве Х характеризуется функцией принадлежности (x, y) = sup min{ (x, z), (z, y)}
Определение 3.21 Минмаксное произведение
R ◦ R нечётких отношений R и R на множестве Х характеризуется функцией принадлежности (x, y) = inf max{ (x, z), (z, y)}
В случае конечного множества Х матрица нечёткого отношения R ◦ R получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения (композиции) обычных отношений
Пример 3.4
На множестве X = {6, 8} даны матрицы нечётких отношений
0,3 |
0,9 |
0,4 |
0,6 |
1 |
|
0,2 |
0,5 |
Найти объединение C = R U R , пересечение
D = R R , максминное и минмаксное
произведения R ◦ R нечётких отношений 
R и R , а также дополнение R в Х отношения R
Решение.
А) По определению 3.18 объединение
C = R U R нечётких отношений R и R запишем в виде следующей матрицы: С =
, где
=max{0,3; 0,4} = 0,4; |
=max{0,9; 0,6} = |
0,9; |
|
=max{ 1 ; 0,2} = 1; |
=max{0,6; 0,5} = |
0,6. |
|
Следовательно, |
|
0,4 |
0,9 |
1 |
0,6 |
Б) Пересечение D = R и R нечётких отношений
R и R определяется, согласно определению 3. матрицей D =
, где
=min{0,3; 0,4}=0,3; =min{0,9; 0,6}=0,6;
=min{ 1 ; 0,2}=0,2; 0,5}=0,5;
Тогда
0,3 0,6
0,2 0,5
В) Для определения R ◦ R сначала составим декартово произведение
Х х Х = {(6, 6), (6, 8), (8, 6), (8, 8)}.
По определению 3.20 функция принадлежности максминного произведения R ◦ R нечётких отношений R и R для каждого элемента множества Х х Х определяется следующим образом
(6, 6) = sup{min{0,3; 0,4}, min{0,9; 0,2}} = sup{0,3; 0,2} 0,3
(6, 8) = sup{min{0,3; 0,6}, min{0,9; 0,5}} = sup{0,3; 0,5} 0,5
(8, 6) = sup{min{ 1 ; 0,4}, min{0,6; 0,2}} = sup{0,4; 0,2} 0,4
(8, 8) = sup{min{ 1 ; 0,6}, min{0,6; 0,5}} = sup{0,6; 0,5} = 0,6
Следовательно
0,3 0,5
0,4 0,6
По определению 3.21 функция принадлежности минмаксного произведения R ◦ R нечётких отношений R и R для каждого элемента множества Х х Х находится следующим образом
(6, 6) = inf{max{0,3; 0,4}, max{0,9; 0,2}} =inf {0,4; 0,9}= 0,4
(6, 8) = inf{max{0,3; 0,6}, max{0,9; 0,5}} =inf {0,4; 0,9}= 0,6
(8, 6) = inf{max{ |
1 ; 0,4}, max{0,6; 0,2}} =inf { |
1 ; |
0,6}= 0,6 |
|
|
(8, 8) = inf{max{ |
1 ; 0,6}, max{0,6; 0,5}} =inf { |
1 ; |
0,6}= 0,6 |
|
|
Тогда
0,4 0,6
0,6 0,6