Решение.

По определениям 3.7 – 3.10 имеем:

множество уровня 0,7 , нечёткого множества В в Х.

2. ={х ϵ 0,6} = {3, 4} - множество уровня 0,6 , нечёткого множества В в Х.

Тогда нечёткое множество В в Х можно разложить по множествам α :

Прежде чем рассмотреть понятие нечётких отношений, сначала дадим определения обычных отношений на множестве Х и операций над этими отношениями.

Определение 3.12 Пусть на одном и том же множестве Х – это значит указать все пары элементов (x, y), где x, y ϵ X, которые связаны отношениями R.

Для обозначения того, что элементы x и y связаны отношением R, используется запись xRy. Очевидно, отношение R на множестве Х есть подмножество декартова произведения

Х x Х = {(x, y) | x ϵ X, y ϵ Y}.

Если множество Х конечно, то отношение R удобно писать матрицей R = (rᵢ ), i, j = 1, 2, …, n

Элементы определяются следующим

Эта матрица называется характеристической функцией отношения R. Отношение R в конечном множестве Х можно описать и ориентированным графом, вершины которого соответствуют элементам множества Х, а

дуга от вершины хᵢ к вершине

Проводится в том и только в том случае, если

Определение 3.13

Пусть на одном и том же множестве Х заданы

два отношения R и R . Множества С = R

UR

иD = R R называются соответственно объединением и пересечением

Определение 3.14

Композиция (произведение) отношений R и R ,

Заданных на одном и том же множестве Х, определяется как отношение, обозначаемое R = R ◦ R , для которого элементы матрицы

отношения R равна максминному произведению матриц отношений R и R .

Определение 3.15

Если R – отношение на множестве Х, то отношение R на множестве Х называется обратным отношением, если xRy имеет место тогда и только тогда, когда yRx. Если R = ( ),

R =( ), i, j = 1, 2, … , n - матрицы

отношений R и R , то элементы этих матриц связаны неравенствами =

, т.е.

матрица R получается путём транспонирования матрицы R.

Пример 3.3

На множестве X = {4, 6, 8} даны два отношения

R =( ) и R =(<). Составить характеристические функции заданных отношений и найти объединение R UR , пересечение R R и композицию R ◦ R этих отношений, а также обратное отношение R .

Решение Составим декартово произведение

X x X = {(x, y) | xϵ{4, 6, 8}, yϵ{4, 6, 8}} =

= {(4, 4),(4, 6),(4, 8),(6, 4),(6, 6),(6, 8),(8, 4),(8, 6),(8, 8)}.

Тогда

xR y => R = {(x, y)ϵ X x X | x<y; x, yϵX} = = {(4, 4),(4, 6),(4, 8),(6, 6),(6, 8),(8, 8)};

Согласно определению 3.14, так как R = R ◦ R = ( ), I, j = 1,