Элементы теории нечётких

множеств

Понятие нечёткого множества – попытка математической формализации нечёткой информации с целью её использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству в различной степени. При таком подходе высказывания типа «элемент x принадлежит данному множеству»

теряют смысл, так как необходимо

Однин из простейших способов математического описания нечёткого множества – это характеристика степени принадлежности элемента множеству чисел, например, из промежутка [0,1].

Определение 3.1

соответствия , по которому каждому элементу х ϵ Х ставится в соответствие единственное число отрезка [1,0]), называется функцией принадлежности нечёткого множества С. Значение (х) этой функцией для конкретного элемента х называется степенью принадлежности этого элемента к нечёткому множеству С.

Определение 3.2 Нечёткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всём множестве Х, т.е. = 0 для каждого элемента х ϵ Х.

Определение 3.3 Множество Х называется универсальным, если его функция принадлежности µᵪ(х) = 1 для каждого элемента х ϵ Х.

Определение 3.4 Носителем нечёткого множества А с функцией принадлежности

(х) называется множество, обозначаемое suppA и определяемое формулой

suppA = {x|x ϵ (x)>0}.

Определение 3.5 Пусть А и В нечёткие множества в Х, а (х) и

(х) – их функции принадлежности. Говорят, что А включает в себя В (обозначается В А), если для каждого элемента х ϵ Х выполнено неравенство

(х) (х).

Определение 3.6 Нечёткие множества А и В в Х называют эквивалентными или совпадающими, если (х)=

(х) для каждого элемента х ϵ Х.

Отметим, что если А и В – нечёткие множества в Х, что В А, то suppB suppA.

Вводя операции над нечёткими множествами, необходимо помнить, что класс нечётких множеств охватывает и множества в обычном смысле. Поэтому для нечётких множеств есть операции, которые соответствуют обычным операциям, принятым в теории множеств.

Определение 3.7 Объединением нечётких множеств А и В в Х называют нечёткое множество, обозначаемое AUB и имеющее функцию принадлежности

Определение 3.8 Пересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество А В и имеющее функцию принадлежности

Определение 3.9 Дополнением нечёткого множества А в Х называется нечёткое множество ААс функцией пинадлежности

(х)=1 – (х), х ϵ Х. Пример 3.1 Пусть дано нечёткое множество

А = {Множество чисел гораздо больших 0}.

Тогда АА= {Множество чисел, не являющихся гораздо больше 0}

Определение 3.10

Разностью нечётких множеств А и В в Х называется нечёткое множество, обозначаемое АΘВ и имеющее функцию принадлежности

Определение 3.11 Множеством уровня α нечёткого множества А в Х называется множество, обозначаемое , составленное из элементов х ϵ Х, степени принадлежности которых нечёткому множеству А не меньше числа α: ={х α}.

Представление нечёткого множества А в Х в виде А = U , где = α

(х), называется разложением множества по его множествам уровня α. Здесь объединение нечётких множеств α берётся в соответствие с определением 3.7 по всем α

Пример 3.2 Дано множество Х = {3, 4}, а функции принадлежности нечётких множеств и В и заданы таблицей:

1.Найти объединение, пересечение, разность Нечётких множеств

А и В в Х, а также дополнение нечёткого

множества А в Х.

2. Разложить нечёткое множество В по множествам уровня α.