1-й сем-ДМ-слайды-ДГТУ / Прилолжения,л.2-3

Логические операции над высказываниями

1. Отрицание

Отрицание х – новое высказывание, которое истинно, если х ложно и наоборот.

х	х
1	0
0	1

2. Конъюнкция (логическое умножение)

Конъюнкция двух высказываний х и у – новое высказывание, которое истинно, если х и у истинно и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкции х и у: х&у или xу («х и у»).

х	у	ху
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

3. Дизъюнкция (логическое сложение)

Дизъюнкция х и у – новое высказывание, которое истинно, если хотя бы 1 из высказываний истинно и ложно, если оба ложны.

х	у	ху
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. Импликация – новое высказывание, логично, если х истинно, а у – ложно и истинно во всех остальных случаях.

х→у («если х, то у» или «из х следуют у»)

х – условие или посылка, у – следствие или замещение.

х	у	х→у
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

х→у – следствие

5. Эквиволенция (или эквиваленционность) двух высказываний х и у – новое высказывание, которое истинно, если оба высказывания х и у, либо одновременно истины, либо одновременно ложны и ложно во всех остальных случаях.

х→у («для того, чтобы х, необходимо и достаточно, что бы у или х тогда и только тогда, когда у»).

х	у	ху
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Формулы алгебры логики:

→

х	у
1	1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0

Основные равносильности

1. закон идентичности

2. закон идентичности

3. 

4. 

5. 

6. 

7. закон противоречия

8. закон истинного противоречия

9. закон двойного отрицания

10. 

11. 

Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики

1. коммутативность конъюнкции

2. коммутативность дизъюнкции

3. ассоциативность конъюнкции

4. ассоциативность дизъюнкции

5. дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

6. дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Булевы функции

x	у	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15	f16
1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0

f₁ f₅ f₉ f₁₃

f₂ f₆ f₁₀ f₁₄

f₃ f₇ f₁₁ f₁₅

f₄ f₈ f₁₂ f₁₆

Приложение:

1)

А В

2

)

А

В

Формула:

А В

3) Применение алгебры логики к решению логических задач

1. Антон был вторым, а Борис – пятым

2. Виктор был вторым, а Денис – третьим

3. Григорий был первым, а Борис третьим

4. Антон был третьим, а Евгений – пятым

5. Виктор был третьим, а Евгений – четвертый

Одно из двух высказываний ошибочно. Что было на самом деле?

Обозначим высказывания х_у, где х – первые буквы имени, у – номер места в структуре.

Получим:

А₂Б₅; В₂Д₃; Г₁Б₃1;

А₃Е₆; В₃Е₄;

Тогда истинна формула:

Б₅)В₂Д₃)Г₁Б₃)(А₃Е₆)(В₃Е₄)В₂Д₃Б₅Д₃Б₅В₂)Г₁А₃Г1Е₆Б₃В₃Е₄)А₂Д₃Г₁А₂Д₃Г₁Е₆А₂Д₃Б₃Е₆Б₅Д₃Г₁А₃Б₅Д₁Г₁Е₆Б₅Д₃Б₃Е₆Б₅В₂Г₁А₃Б₅В₂Г₁Е₆Б₅В₂Б₃Е₆)(В₃Е₄)(А₂Д₃Г₁Е₆В₃А₂Д₃Г₁Е₆Е₄Б₅Д₃Г₁Е₆В₃Б₅Д₃Г₁Е₆Е₄Б₅В₂Г₁А₃В₃Б₅В₂Г₁А₃Е₄Б₅В₂Г₁Е₆В₃Б₅В₂Г₁Е₆Е₄Б₅В₂Г₁А₃Е₄.