Матрицы графов и их свойства.

Матрица смежности.

Матрицей смежности (смежностей) А=||aij||

графа G с p вершинами называется (рxр)

Суммы элементов матрицы А по строкам равны степеням вершин графа G (ρ(1)=3, ρ(2)=2, ρ(3)=4, ρ(4)=2, ρ(5)=3.

Матрица смежности орграфа

определяется аналогично: А=А(Д)=||aij||, где аij = 1, если дуга υiυj принадлежит Д, и аij = 0 в противном случае. Итак, А(Д) не обязательно симметрична.

Матрицу смежности данного графа можно рассматривать как матрицу смежности симметрического орграфа.

Линейным подграфом орграфа Д называется подграф, в котором у каждой вершины полустепень исхода и полустепень захода равны 1. Таким образом, такой подграф содержит непересекающийся набор простых контуров.

Остовной подграф - подграф графа G, содержащий все его вершины.

Матрица инциденций.

Матрица инциденций определяет граф с точностью до изоморфизма.

Теорема с связи матрицы смежностей G и матрицы инциденций G. Пусть ВТ – транспонируемая матрица к В.

B=||bij||, размерность nxm (n вершин, m дуг). bij = 1, если xi является начальной

вершиной дуги aj.

bij = -1, если xi является конечной вершиной дуги aj.

bij = 0, если xi не является концевой

Для любого реберного (p,q) графа G с матрицей инциденций В

А(где(G))Iq= –BTединичнаяB-2Iq, матрица порядка q. Имеется в виду реберный граф (G) все вершины которого взаимно однозначно сопоставлены ребрам графа G, причем две вершины в (G) смежны тогда и только тогда,

G:

Построим граф:

Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, за исключением того случая, когда дуга образует петлю, то каждый столбец либо содержит один элемент, равный 1, и один, равный -1, либо все элементы столбца равны 0.

Если G – неориентированный граф, то его матрица инциденций определяется также, за исключением того, что все элементы, равные -1, заменяются на +1.

Обобщение на случай мультиграфа:

А=(aij)n,n, aij = числу ребер в G, соединяющей Vi и Vj

1 1 1 0

1 0 2 1

1 2 0 10 1 1 0

Пример:

Произведение G1xG2. Рассмотрим 2 вершины

U=(

V=

Композиция G=G1[G2] также имеет V=V1xV2 в качестве множества вершин и вершина U=(U1,U2) смежна с V=(V1,V2) тогда и только

тогда, когда [U1 adj V1] или [U1=V1 и U2 adj V2]

не

изоморфны