3.2. Частичный граф

Для графа G=<A,U> граф H=<A,U’> называется частичным графом графа G, если в нем U’ Í U. Отметим, что частичный граф задан на всех вершинах исходного графа.

Граф P=<A’,U’’> называют подграфом графа G, если A’ Í A и U’’ – подмножество всех дуг из U, заданных на вершинах из А’.

Граф Q=<A’,U^*>, где U^*ÍU’’, называют частичным подграфом графа G.

Если в графе на рис.3.1 из множества его дуг убрать, например, дуги (3,5) и (2,1), то получим частичный граф исходного графа. Если убрать, например, вершину 5 и все связанные с ней дуги (дуги (5,2), (5,4) и (3,5)), то получим подграф исходного графа. И, наконец, если из полученного подграфа убрать, например, дуги (3,2) и (2,1), получим пример частичного подграфа.

3.3. Неориентированные графы

Граф называют неориентированным или неорграфом, если в нем элементы множества U рассматривают как неупорядоченные, т.е. в нем пара (a_i,a_j) неотличима от пары (a_j,a_i). В этом случае элементы множества U называются ребрами и на рисунке они изображаются в виде отрезков кривых без стрелок.

Аналогом пути в неорграфе является понятие цепь. Цепь может быть простой или составной, элементарной или нет. Замкнутая цепь называетсяцикломи вводится аналогично понятиюконтур.

Каждому орграфу однозначно сопоставляется неорграф, если заменить все дуги ребрами, т.е. убрать ориентацию. Если в орграфе есть пары дуг, соединяющие одни и те же вершины в противоположном направлении, то они заменяются одним ребром. Так, неорграф, сопоставленный приведенному в примере графу, будет иметь число ребер на одно меньше числа дуг, потому что паре дуг (1,2) и (2,1) будет сопоставлено одно ребро.

Термин цепь можно ввести и для ориентированного графа, понимая под ней последовательность дуг без учета ориентации. Так, в нашем примере можно говорить о цепи (1,2,5,4).

Граф называется связным, если в нем любая пара вершин связана цепью.

Компонентой связности графа называется такой его связный подграф, для которого не существует другого связного подграфа, включающего данный в качестве своего подграфа.

Таким образом, компонента связности есть максимальный связный подграф в графе. На рис.3.2 приведен граф, в котором три компоненты связности: подграфы на вершинах {1, 2, 3}, {4,5}, {6,7,8}.

Теперь можно назвать связным такой граф, который содержит только одну компоненту связности.

Ребро графа, удаление которого увеличивает число компонент связности, называется мостом или перешейком. В нашем примере одним из мостов будет ребро (6,7).

3.4. Расширения модели

Модель графа при описании конкретных объектов, процессов или явлений может быть расширена. Для этого используют следующие способы:

- Взвешивание дуг (ребер). Каждому ребру (дуге) графа приписывается число – вес дуги (ребра). Вес может определять, например, расстояние между городами, если вершинам приписаны имена городов, а ребра – дороги между ними. Для описания взвешенного графа используется матрица смежности, в ячейках которой записаны веса.

- Взвешивание вершин. Аналогично дугам веса приписываются вершинам. Например, вершинами представлены магазины и склады, а вес вершины определяет количество некоторого товара на складе или в магазине.

- Взвешивание дуг и/или вершин векторами. Взвешивание производится не числом, а набором чисел. Например, для дороги могут быть указаны расстояние, стоимость проезда, время в пути и т.д.

- В графе допускается между двумя вершинами несколько «параллельных» дуг (или рёбер). В этом случае говорят о кратных дугах (рёбрах), а такие графы называют мультиграфами. Для описания мультиграфов используются такие же таблицы, как и для простых графов, но в клетках записаны не 0 и 1, а кратность дуги.

- В графе используется не бинарное, а r-арное отношение, где r > 2. Такие графы называются гиперграфами. Для представления этих графов на плоскости вершины, которые относятся к одному ребру, объединяются замкнутыми линиями, как на рис. 3.3. Здесь граф имеет три ребра: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (4, 5, 6). К таким графам приходят при описании логических сетей, когда элементы находятся в отношении, если они имеют полюса, связанные общей цепью.

Рис. 3.3.