1.4. Уравнения на множествах

Пусть задано равенство двух множеств, определённых формулами, которое устанавливает отношения между входящими в формулы множествами. Необходимо выяснить эти отношения в терминах взаимного включения множеств. Часто второе множество задано как пустое.

Решение задачи основано на следующих простых соотношениях: если А ÈВ ÈС=Æ, то А= Æ, В= Æ, С= Æ;

если А ÇВ=Æ, то А Í~В или В Í~А.

Если уравнение записано в виде F1=F2, где F2 - непустое множество, то это уравнение можно привести к виду, когда справа будет стоять пустое множество. Для этого используем соотношение, вытекающее из определения равенства множеств: если F1=F2, то из этого следует, что (F1Ç ~F2) È (~F1 Ç F2) =Æ.

Пример. Уравнение имеет вид: (~А Ç В) È (А Ç~В ÇС)=Æ. Значит, (~А Ç В) =Æ и (А Ç~В ÇС)=Æ. Откуда следует, что В ÍА и (А Ç С) Í В.

1.5. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называют множество М, содержащее все возможные пары, в которых на первом месте стоит элемент из А, на втором – элемент из В. Формально АхВ = М, М={(a_i , b_j )| a_i ÎA, b_j ÎB}. Элементы декартова произведения являются кортежами.

Пример. Пусть А={1,2,b} и B={a, b, 2}, тогда AxB={(1, a), (2, a), (b, a), (1, b), (2, b), (b, b), (1, 2), (2, 2), (b, 2)}.

Если |A| =na и |B|=nb, то |AxB|=na×nb

Аналогично вводится произведение трех, четырех и т.д. множеств как множество троек, четверок и так далее, в которых на первом месте записан элемент первого множества, на втором - элемент второго и т.д.. Если все сомножители в произведении одинаковы, оно называется декартовой степенью: А=А¹; АхА=А²; АхАхА=А³; АхАх А...А = А^k, k>0.

Результат декартова произведения не является подмножеством универсального множества.

Для декартова произведения не выполняются условия коммутативности и ассоциативности. Действительно, множество АхВ содержит в качестве элементов пары (а_i ,b_j ), а множества ВхА — пары (b_i ,a_j ), т.е. результирующие множества содержат различные элементы. Элементы произведения (АхВ )хС - пары ((a_i ,b_j ),c_k ), а Ах(ВхС)пары (a_i ,(b_j ,c_k)). Элементами множества АхВхС являются тройки (a_i ,b_j ,c_k). Значит, (АхВ)хС ¹ А х ( ВхС ) ¹ АхВхС.

Лекция 2. Отображения и отношения

Пусть задано два множества A и В. Выделим некоторое подмножество Â декартова произведения АхВ и будем трактовать его элементы (a_i,b_j) как выражение того факта, что a_i и b_j находятся в некотором соответствии. Нас не интересует характер этого соответствия, а только сам факт его наличия. Множество Â назовем отображением множества А на множество В.

Если (a_i ,b_j ) Î Â, то a_i называется прообразом b_j , а b_j - образом a_i при отображении Â. Множество А^~ всех прообразов в А есть область определения отображения Â, а множество B^~ всех образов в В - область значений Â. Если В^~ равно В, то говорят об отображении на В, если В^~ - только часть В, то об отображении в B.

Отображение будем обозначать как АÂВ или Â(a) =b. Если для каждого a_i образ b_j единственен, то отображение называют функциональным. Если в Â все пары (a_i ,b_j ) переписать «наоборот», как (b_j ,a_i ), получим отображение В в А, которое является обратным к Â и обозначается Â ^-1.

Пусть множества А и В совпадают, Â Í АхА. В этом случае Â называют бинарным отношением, а множество А - базовым множеством отношения R.

Если (a_i ,a_j )Î Â , то говорят, что элемент a_i находится в отношении с элементом a_j . В общем случае можно определить, что в отношении находится не пара, а k элементов, считать, что Â Í А^k . Величина k определяет арность отношения Â. Говорят, что Â Í А^k - k-арное отношение.

Термин «отношение» используют также, если арность >2 и множества в декартовом произведении различны.

Будем рассматривать в дальнейшем бинарные отношения на множестве А.