математика конспект
.pdfкоэффициентом касательной.
ЗАМЕЧАНИЕ Касательная в смысле данного определения удовлетворяет
соотношению lim ρ (M , l) из общего определения касательной.
x→x0 M 0 M
СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл производной) График функции f ( x) имеет касательную в точке ( x0 , f ( x0 )) тогда и только тогда, когда f ( x) имеет производную в x0 . В этом случае угловой коэффициент касательной k = f ′( x0 ) .
Определение Если график функции имеет касательную в точке ( x0 , f ( x0 )) , то прямая l проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику в ( x0 , f ( x0 )) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
}, −1} перпендикулярен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗАМЕЧАНИЕ Так как вектор нормали к касательной n := { f {x0 |
||||||||||||||
вектору{ |
1 |
|
,1} , то уравнение нормали можно записать в виде |
|||||||||||
f ′{x } |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = − |
|
1 |
( X |
− x0 ) + f ( x0 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f ′( x0 ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
|||
Определение |
Правой (левой) производной функции |
у = f ( x) |
в точке x0 называется |
|||||||||||
конечный предел f x′( x0 + 0) := lim |
f |
|
|
|
|
f |
|
|||||||
|
f x′( x0 |
− 0) := lim |
|
|
, если он существует. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→x0 +0 x |
|
x→x0 −0 |
x |
|
ТЕОРЕМА (правила дифференцирования) 1) (α f + β g )′ = α f ′ + β g ′ .
2) ( f g )′ = f ′ g + f g ′ |
3) |
|
f ′ |
f ′ g − f g ′ |
в тех точках, где знаменатель не равен нулю. |
||
|
|
|
= |
|
|||
|
g 2 |
||||||
|
|
|
g |
|
|
4) Пусть у = f ( x) монотонна, непрерывна в окрестности x0 и дифференцируема в x0
|
′ |
|
:= f ( x0 ) . Тогда обратная функция |
x = |
f |
−1 |
( y) монотонна, непрерывна в |
|||||||||
и f ( x0 ) ≠ 0 , y0 |
|
|
||||||||||||||
окрестности точки y0 , дифференцируема в |
y0 |
и ( f |
−1 |
|
′ |
1 |
|
. |
5) (производная |
|||||||
|
|
) ( y0 ) = |
f ′( x0 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сложной функции) Пусть функция y = g ( x) |
определена в окрестности x0 и дифферен |
|||||||||||||||
цируема в x0 ; |
пусть z = f ( y) определена в окрестности y0 := g ( x0 ) |
и дифференцируема |
||||||||||||||
в y0 . Тогда функция z = f ( g ( x)) |
дифференцируема в x0 и ( f g )′( x0 ) = f y′( y0 ) g ′( x0 ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение |
Пусть функция |
у = f ( x) определена в окрестности точки |
x0 . Говорят, |
|||||||||||||
что |
f ( x) - дифференцируема (расчленима) в точке x0 если A R |
f |
= A |
x + α ( x) , где |
||||||||||||
α ( x) |
есть БМ при x → x . Если f ( x) дифференцируема |
в x |
, |
то |
слагаемое A x |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется дифференциалом функции f ( x) . |
Обозначение df := A x . |
||||
ТЕОРЕМА (свойства дифференциала). 1) Функция f ( x) |
дифференцируема в x0 |
||||
и только тогда, когда она имеет производную в x0 . При этом A = |
|
′ |
|
|
|
f ( x0 ) . |
|||||
|
|
f |
df g − f dg |
||
2) d (α f + β g ) = α df + β dg . 3) d ( f g ) = df g + f dg . 4) d |
|
= |
|
|
|
|
g 2 |
||||
|
|
g |
|||
5) (инвариантность дифференциала при замене) Если функция y = g ( x) |
|||||
дифференцируема в точке x0 , а z = f ( y) дифференцируема в точке y0 |
= f ( x0 ) , то |
тогда
.
сложная функция z = f ( g ( x)) дифференцируема в x0 и df = d ( f g ) .
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Ввиду первого утверждения теоремы термины "дифференцируемая функция" и "функция, имеющая производную" взаимозаменяемы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 (геометрический смысл дифференциала) Так как уравнение кассате
льной к графику функции y = f ( x) в точке |
( x0 , f ( x0 )) имеет вид y = f x′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) , |
|
то дифференциал dy := f x′( x0 ) |
x в точке |
x0 совпадает, очевидно, с приращением |
y − f ( x0 ) ординаты касательной, проведенной в этой точке. |
||
ЗАМЕЧАНИЕ 3 При условии f |
′ |
|
( x0 ) ≠ 0 имеет место приближенное равенство |
f ( x) − f ( x0 ) = df + α ( x) ≈ df , которое используется для приближенного вычисления значений функции.
_____
Определение Производной нулевого порядка функции в точке называется ее значение в этой точке. Пусть существует производная (n −1) - го порядка f (n−1) ( x) в каждой точке некоторой окрестности точки x0 . Если существует конечный предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n) ( x |
|
) := lim |
|
f (n−1) ( x) − f (n−1) ( x0 ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то он называется производной n-го порядка функции f ( x) |
в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначение f |
( n) |
|
d n f |
|
|
|
|
|
|
( n−1) |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
( x0 ) . Исторически приняты обозначения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x0 ) = |
|
( x0 ) := ( f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x))x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
f |
′′ |
|
|
|
|
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
f |
|
iv |
( x), |
f |
(5) |
( x), f |
(6) |
( x), ... . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x), |
( x), |
|
|
( x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Определение (физический смысл производной). |
|
|
Пусть материальная точка движется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вдоль оси OX |
|
по закону x = x(t) . Средней скоростью движения на промежутке |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[t |
|
, t |
|
+ t] |
|
называется величина v |
|
|
|
:= |
|
|
|
|
x |
. Мгновенной скоростью движения в момент |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
времени t |
|
называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t0 + t) − x(t0 ) |
|
|
|
′ |
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
v(t ) := lim v |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=: x (t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t →0 |
|
ср |
|
|
|
|
t →t0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Средним ускорением на промежутке [t |
|
|
, t |
|
|
|
+ |
t] называется величина W := |
|
v |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мгновенным ускорением в момент времени t0 |
называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(t0 ) := lim wср |
= |
lim |
|
v(t0 |
|
+ t ) − v(t0 ) |
=: v′(t0 ) =: x′′(t0 ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t →t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение Функция y = f ( x) |
называется дифференцируемой на множестве X , |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
она имеет производную в каждой точке x X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТЕОРЕМА Пусть функции y = f ( x) , |
|
|
y = g ( x) |
непрерывны на |
|
|
[a, b] , дифференцируемы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на (a, b) и |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) = f (b) = 0 , то |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
(a, b) g ( x) ≠ 0 . Тогда: 1) (теорема Ролля) если |
|
|
c |
|
|
(a, b) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
|
|
|
f ′(c) |
|
|
|
|
(правило Лопиталя) Если |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f |
(c) = 0 . 2) (теорема Коши) |
|
с |
|
|
|
(a, b) |
|
|
g (b) − g (a) |
= |
|
g ′(c) |
. 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f (a) = g (a) = 0 |
и существует конечный предел A := lim |
f ′( x) |
, то существует lim |
f ( x) |
и он |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g ′( x) |
|
|
|
|
|
x→a g ( x) |
|
||||||||||||
равен A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
СЛЕДСТВИЕ (формула Лагранжа) Теорема Коши при g ( x) := x принимает вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
(a, b) |
f (b) − f (a) = f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(c)(b − a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции f ( x), g ( x) дифференцируемы на (a, b) и lim f ( x) = lim g ( x) = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
x→a |
x→a |
или ∞ , то из lim |
f ′( x) |
= A |
lim |
f ( x) |
= A . |
|
|
|
|
||||
x→a g ′( x) |
x→a g ( x) |
|
||||
|
|
|
_____ |
|
||
Определение Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) |
||||||
функции f ( x) , если ε > 0 |
x ( x0 − ε , x0 + ε ) ∩ X f ( x) ≤ f ( x0 ) ( f (x) ≥ f ( x0 )) . Точки |
локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.
ТЕОРЕМА (о локальном экстремуме) |
1) Если f ( x) не возрастает (не убывает) и |
||||||
дифференцируема на (a, b) , то |
|
|
|
|
′ |
||
|
x |
|
(a, b) |
f ( x) ≥ 0 . |
|||
2) Если |
|
′ |
, то |
f ( x) возрастает (убывает) на (a, b) . |
|||
x |
(a, b) f ( x) > 0 (< 0) |
3)(теорема Ферма) Если x0 - точка локального экстремума функции f ( x) , и f ( x) дифференцируема в x0 , то f ′( x0 ) = 0 .
4)(первое достаточное условие локального экстремума). Пусть f ( x) дифференцируе
ма на |
( ) |
, x0 |
( |
) |
f |
′( |
x0 |
) |
= 0 . Если |
|
(a, x0 ) |
′ |
и |
|
( x0 , b) |
′ |
||
a, b |
a, b , |
|
|
x |
f (x) > 0 (< 0) |
x |
f ( x) < 0 (> 0) , |
|||||||||||
то x0 |
- точка максимума (минимума) на (a, b) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5) (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть |
f ( x) |
имеет вторую |
||||||||||||||||
производную |
f |
′′ |
и |
|
f |
′ |
Если |
′′ |
|
то |
x0 |
- |
точка локального |
|||||
( x0 ) |
|
( x0 ) = 0 . |
f ( x0 ) < 0 (> 0) , |
максимума (минимума).
Определение Пусть функция y = f ( x) определена на (a, b) , и ее график имеет касательную в каждой точке ( x, f ( x)) . Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на
(a, b) , если она лежит выше (ниже) любой своей касательной. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определение Точка (c, f (c)), c (a, b) , называется точкой перегиба кривой, если эта |
|
|||||||||||||||||||||
кривая выпукла (вогнута) на (a, c) и вогнута (выпукла) на (c, b) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ТЕОРЕМА |
Пусть f ( x) |
дважды дифференцируема на (a, b) . 1) (необходимые условия |
||||||||||||||||||||
выпуклости) Если кривая |
выпукла |
(вогнута) |
на (a, b) , |
то |
|
′ |
не |
убывает |
(не |
|||||||||||||
|
f ( x) |
|||||||||||||||||||||
возрастает) |
на |
|
и |
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
. |
2) (достаточные условия |
|||||||||
(a, b) |
|
x |
|
(a, b) f ( x) ≥ 0 |
( f |
( x) ≤ 0 ) |
||||||||||||||||
выпуклости) |
Если |
f |
′ |
|
|
монотонно |
возрастает |
(убывает) |
на |
(a, b) |
или |
|||||||||||
( x) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′′ |
′′ |
|
< 0) , то кривая выпукла (вогнута) на (a, b) . |
3) (необходимые |
||||||||||||||
|
x |
|
(a, b) f |
( x) |
> 0 ( f ( x) |
|||||||||||||||||
условия точки перегиба). Если |
c - точка перегиба кривой, то f |
′′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(c) = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Важной характеристикой гладкой кривой и одновременно мерой ее выпуклости |
||||||||||||||||||||
является понятие кривизны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение Пусть дана гладкая кривая l : x = x(t) , |
t [0,1] , то есть функции x(t), y(t) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
непрерывно дифференцируемы на [0,1] |
и все ее точки неособые. Обозначим θ (t ) угол |
|||||||||||||||||||||
наклона касательной в точке ( x(t), y(t )) |
кривой, а s(t, t + |
t ) - длину дуги между точками |
||||||||||||||||||||
( x(t), y(t )), ( x(t + |
t), y(t + |
t)) этой кривой. Предел k (t |
) := lim |
θ (t0 + |
t) − θ (t0 ) |
отношения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t →+0 |
s(t0 |
, t0 + |
t ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
приращения угла наклона касательной к длине соответствующей дуги, если он |
|
существует, называется кривизной кривой в точке ( x(t0 ), y(t0 )) .
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции x(t), y(t) дважды дифференцируемы, то кривизна кривой
в точке ( x(t), y(t )) вычисляется по формуле k (t) := y′′(t ) x′(t) − y′(t) x′′(t) .
3
( x′2 (t ) + y′2 (t )) 2
СЛЕДСТВИЕ Если кривая задана уравнением y = f ( x) , то k ( x) = |
f ′′( x) |
|||
|
. |
|||
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
(1 + f ′2 ( x)) 2 |
Из этой формулы и предыдущей теоремы следует, что положительное значение кривизны означает выпуклость, а отрицательное значение - вогнутость кривой в соответствующей точке. Кривыми с нулевой кривизной k ( x) ≡ 0 являются прямые и только они.
_____
Определение Пусть функция y = f ( x) определена на некотором интервале ( x0 − ε , x0 + ε ) и имеет на нем производные до (n + 1) -го порядка включительно. Многочлен степени
|
|
|
f ′( x ) |
|
|
f |
(n) ( x ) |
− x )n |
|
|
|
|
|
|
|||
≤ n p |
( x) := f ( x ) + |
0 |
|
( x − x |
) + ... + |
|
0 |
( x |
называется многочленом Тейлора. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
0 |
1 ! |
0 |
|
|
|
n ! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разность Rn ( x) := f ( x) − pn ( x) |
- |
остаточным |
членом. |
Формула |
f ( x) = pn ( x) + Rn ( x) - |
||||||||||||
формула Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ТЕОРЕМА (свойства формулы Тейлора) |
1) |
|
Многочлен |
Тейлора является |
|||||||||||||
единственным многочленом степени ≤ n , который удовлетворяет равенствам: |
|||||||||||||||||
|
|
|
p( x0 ) = f ( x0 ), |
|
|
′ |
|
(n) |
( x0 ) = f |
( n) |
( x0 ) . |
|
|||||
|
|
|
p( x0 ) = f ( x0 ), ... , p |
|
|
|
|||||||||||
2) Остаточный член Rn ( x) можно представить в форме Лагранжа |
|
||||||||||||||||
R ( x) = |
f (n+1) (ξ ) |
( x − x )n+1 |
, где число ξ находится между x и x . |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
n |
(n + 1)! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1 В теореме остаточный член можно записать менее точно, в форме
Пеано Rn (x) = ( x − x0 )n o(1) = o(( x − x0 )n ) .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 При n = 0 формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа f ( x) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) совпадает с формулой Лагранжа. При n = 1 формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано совпадает с формулой дифференциала.
ЗАМЕЧАНИЕ Для h > 0 положим M k (h) := |
|
|
max |
| f (k ) ( x) | . Тогда |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x−x0 |
≤h |
|
|
|
|
|
|
||||
x [ x − h, x + h] |
|
f ( x) − p ( x) |
|
= |
|
R ( x) |
|
≤ |
1 |
|
M |
n+1 |
(h) hn+1 |
=: ω(n, h) . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
(n + |
1) ! |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Тейлора позволяет решать следующие три задачи.
1)По заданным степени n многочлена и длине отрезка 2h оценить в терминах ω (n, h) величину отклонения pn ( x) от f ( x) на [ x0 − h, x0 + h]
2)При заданным длине отрезка 2h и точности ω определить степень n многочлена pn ( x) , отклонение которого от f ( x) на [ x0 − h, x0 + h] не превышает ω .
3)По заданным степени многочлена n и точности ω определить максимальную длину 2h отрезка [ x0 − h, x0 + h] , на котором pn ( x) отклоняется от f ( x) не более, чем на ω .
_____
В заключение параграфа рассмотрим два случая расположения асимптот неограниченной кривой.
1) Асимптота l : x = a вертикальная. В этом случае расстояние от переменной точки
M = ( x, f ( x)) кривой до асимптоты ρ (M , l ) = ( x − a)2 + ( f ( x) − f ( x))2 = x − a → 0 ,
когда M = ( x, f ( x)) стремится к бесконечности. Отсюда необходимо lim f (x) = ∞ .
x→a
2) Асимптота l : y = kx + b, k ≠ ∞ наклонная. По определению асимптоты
0 = lim |
ρ (M , l ) = lim |
kx − f ( x) + b |
|
lim |
f ( x) |
= k, |
b = lim ( f ( x) − kx) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→+∞ |
x→∞ |
|
k |
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
x→∞ |
x |
x→∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
||||
Определение Пусть функции f1 ( x), f2 ( x),... определены на непустом множестве X , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
являющемся общей частью их областей определения. Выражение вида ∑ fk ( x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
называется функциональным рядом. Множество точек X 0 X , в каждой из которых |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующий числовой ряд |
|
∑ fk ( x) сходится, называется множеством |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходимости функционального ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ Если существует |
|
|
an+1 |
|
=: |
1 |
, то в силу признака Даламбера степенной |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
an |
|
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд абсолютно сходится во всех точках интервала ( x 0 −R, x0 + R) и расходится во всех
точках вне отрезка [ x 0 −R, x0 + R] . |
( x 0 −R, x0 + R) называется интервалом сходимости, а |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
число R - радиусом сходимости степенного ряда ∑an ( x − x0 )n . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Определение Функция S ( x) := lim Sn ( x) := lim |
∑ fk ( x) , определенная на множестве |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 0 , называется суммой функционального ряда. При этом для степенного ряда |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
удобно обозначать Sn ( x) := ∑ak ( x − x0 )k . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
||
Определение Если функция f ( x) |
имеет производные любого порядка в точке |
x0 , |
то |
||||||||
|
|
∞ |
|
f |
( n) |
( x0 ) |
|
|
|
|
|
степенной ряд вида |
∑ |
|
( x − x0 )n называется рядом Тейлора функции f ( x) . |
В |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
( n) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||
случае x0 = 0 ряд ∑ |
f |
|
xn называется рядом Маклорена функции f ( x) . |
|
|
||||||
|
n! |
|
|
||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение Пусть функция f ( x) |
имеет производные любого порядка в точке x0 |
и |
|
пусть R - радиус сходимости ее ряда Тейлора. Если на ( x0 − R, x0 + R) f ( x) совпадает с суммой S ( x) этого ряда, то f ( x) называется аналитической функцией на ( x0 − R, x0 + R)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
ТЕОРЕМА Функция ex аналитическая на (−∞, ∞) и ex |
= ∑ |
|
xk ; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 k ! |
||||||
|
|
∞ |
|
|
(−1)k |
|
|
|
|
|
||||
функция sin x аналитическая на (−∞, ∞) |
и |
sin x = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
x2k +1 ; |
||||
|
(2k + 1)! |
|||||||||||||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция cos x аналитическая на (−∞, ∞) |
и |
∞ |
|
|
(−1)k |
x2k ; |
|
|
|
|||||
cos x = ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
k =0 |
(2k )! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
функция (1 + x)m аналитическая на (−1, 1) |
и (1 + x)m = ∑ |
m...(m − k + 1) |
xk ; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
k =0 |
|
|
k ! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
k −1 |
|
|
|
|||
функция ln(1 + x) аналитическая на (−1,1) и |
ln(1 + x) = ∑ |
(−1) |
|
|
xk . |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ПЕРЕМЕННОЙ |
|
|
||||
Определение Пусть функция f ( x) |
|
определена на интервале (a, b) . Дифференцируемая |
||||||||||
на (a, b) функция F ( x) называется первообразной функции f ( x) , если |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
(a, b) F ( x) = f ( x) . |
|
|
|||
ЗАМЕЧАНИЕ Если F ( x) есть первообразная функции f ( x) на (a, b) , то любая другая |
||||||||||||
первообразная имеет вид F ( x) + C , где |
C - произвольная постоянная. |
|||||||||||
Определение Множество всех первообразных функции называется неопределенным |
||||||||||||
интегралом этой функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СЛЕДСТВИЕ Два интеграла совпадают тогда и только тогда, когда они имеют |
||||||||||||
общую функцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Проинтегрировать функцию это значит ее первообразную. |
||||||||||||
Обозначение ∫ f ( x)dx := F ( x) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеет место такая таблица первообразных от элементарных функций. |
||||||||||||
f ( x) |
F ( x) |
|
f ( x) |
|
F ( x) |
|
f ( x) |
F ( x) |
f ( x) |
F ( x) |
||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a , a > |
0, |
a |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x2 + a |
||||||
0 |
C |
a ≠ 1 |
|
|
|
|
tg x |
ln x + x2 + a |
||||
|
|
|
ln a |
|
cos2 x |
|
a ≠ 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xα , |
xα +1 |
|
cos x |
|
sin x |
|
1 |
−ctg x |
1 |
arctg x |
||
α ≠ −1 |
α + 1 |
|
|
|
sin 2 x |
1 + x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
ln x |
|
sin x |
|
− cos x |
1 |
arcsin x |
1 |
1 ln 1 + x |
|||
|
|
1 − x2 |
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
2 1 − x |
ТЕОРЕМА (правила и формулы интегрирования)
1) (свойство линейности интеграла) α , β R ∫(α f ( x) + β g ( x)d x = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)d x ,
если хотя бы два из трех интегралов существуют. |
|
2) (формула замены переменных) |
||||||||||
Если ∫ f ( x)dx := F ( x) + C |
и функция ϕ (t) : (α , β ) → (a, b) непрерывно дифференцируема на |
|||||||||||
(α , β ) , то на (α , β ) существует интеграл функции |
|
′ |
|
|
|
|||||||
f (ϕ(t ))ϕ (t) и он вычисляется по |
||||||||||||
|
′ |
:= F (ϕ (t)) + C . |
|
3) (формула интегрирования по частям) Если |
||||||||
формуле ∫ f (ϕ (t))ϕ (t )dt |
|
|||||||||||
функции u( x), v( x) дифференцируемы на (a, b) , и существует один из интегралов |
||||||||||||
∫u( x) v′( x)dx, ∫v( x) u ′( x)dx , то существует второй интеграл и имеет место |
||||||||||||
равенство∫u( x) v′( x)dx = u( x) v( x) −∫v( x) u ′( x)dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|
|
|
|
Определение Пусть функция f ( x) имеет производную порядка s |
в точке x0 . x0 |
|||||||||||
называется нулем кратности s функции f ( x) (корнем кратности s |
уравнения f ( x) = 0 ), |
|||||||||||
если |
′ |
= f |
( s −1) |
( x0 ) = 0, |
f |
( s ) |
( x0 ) ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
f ( x0 ) = f ( x0 ) = ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В разделе теории функций комплексного переменного будет доказана |
|
|||||||||||
ТЕОРЕМА (Гаусс) Многочлен n -ой степени p( x) = a xn + a xn−1 + ... + a |
, |
a ≠ 0 , имеет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
n |
|
0 |
ровно n корней, если учитывать кратность каждого корня и все комплексные корни. Если λ1 ,..., λn его корни, то имеет место представление p( x) = a0 ( x − λ1 ) ... ( x − λn ) .
СЛЕДСТВИЕ Многочлен с действительными коэффициентами единственным образом представим в виде произведения степеней одно членов ( x − λ)k , λ R и квадратных трехчленов с действительными коэффициентами ( x2 + px + q)l , имеющих сопряженные комплексные нули.
Определение Рациональная функция r( x) = p( x) называется правильной дробью, если
q( x)
deg p < deg q .
ЗАМЕЧАНИЕ Неправильную рациональную функцию с помощью деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.
Определение Рациональные функции с вещественными коэффициентами вида
a |
или вида |
ax + b |
, k N, где квадратный трехчлен имеет комплексные |
|
|
||
( x − λ)k |
( x2 + px + q)k |
сопряженные нули, называются простейшими дробями.
ЗАМЕЧАНИЕ Каждая правильная дробь единственным образом представима в виде суммы простейших дробей. Алгоритм представления называется методом неопределенных коэффициентов.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть r( x, y) = p( x, y) - рациональная функция двух переменных, а
|
|
q( x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
- дробно-линейная функция. Тогда интеграл вида |
∫ |
|
ax + b |
сводится к |
|||
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
r x, m |
|
dx |
|||
|
cx + d |
|
|
|
cx + d |
|
интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной t m := ax + b .
cx + d
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Интеграл вида ∫r(sin x, cos x)dx приводится к интегралу о
рациональной функции с помощью универсальной подстановки t = tg x .
2
ЗАМЕЧАНИЕ 3 Следующие интегралы специального вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью соответствующих замен
∫r(sin 2 x, cos2 x)dx t = tgx, ∫r(sin x) cos xdx t = sin x, ∫r (cos x) sin xdx t = cos x .
ЗАМЕЧАНИЕ 4 К интегралам от рациональных функций с помощью двух последова
|
|
|
|
|
∫r( x, |
|
|
|
|
|
u := tg |
t |
; |
|
|||
тельных замен приводятся и такие интегралы |
|
1 − x2 )dx x := sin t, |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
∫r( x, |
|
)dx x := tg t, u := tg |
t |
; |
|
|
|
1 |
, u := tg |
t |
. |
||||||
1 + x2 |
∫r( x, x2 − 1)dx x := |
||||||||||||||||
|
sin t |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
Определение Разобьем отрезок [a, b] точками a =: x0 |
< ... < xn: := b на n попарно непересе |
кающихся отрезков, и обозначим это разбиение T := {xk } . Длина наибольшего из отрез
ков d (T ) := max xk , где xk := xk − xk −1 , называется диаметром разбиения T отрезка [a, b] .
1≤k ≤n
ЗАМЕЧАНИЕ При d (T ) → 0 число n отрезков разбиения стремится к бесконечности, а длины всех этих отрезков равномерно стремятся к нулю.
Определение Пусть на отрезке [a, b] задана функция. Произведем разбиение [a, b] , и выберем на k -ом отрезке разбиения точку ξk , k ≤ n . Обозначим E := {ξk } . Сумма вида
n |
|
S f (T , E) := ∑ f (ξk ) |
xk называется интегральной суммой. Если существует конечный |
k =1 |
|
предел s := lim S f |
(T , E) , равномерный относительно выбора точек E : |
d (T )→0 |
|
ε > 0 δ > 0 d (T ) < δ E = E(T ) S f (T , E) − s < ε ,
то он называется определенным интегралом (Римана) функции f ( x) на отрезке [a, b] ,
b
а f ( x) - интегрируемой по Риману функцией. Обозначение ∫ f ( x)dx := s .
a
Определение Пусть на отрезке [a, b] заданы две функции g ( x) ≤ f ( x) . Множество точек
|
2 |
: a ≤ x ≤ b, g ( x) ≤ y ≤ f ( x)} называется криволинейной трапецией . |
||
Dg , f (a, b) := {( x, y) R |
|
|||
|
|
|
b |
|
Определение Если существует определенный интеграл |
∫ |
( f ( x) − g( x))dx := lim S f − g (T , E) , |
||
|
|
|
d (T )→0 |
a
то он называется площадью криволинейной трапеции.
_____
Определение Функция f ( x) называется кусочно непрерывной на [a, b] , если она непрерывна на [a, b] за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. ЗАМЕЧАНИЕ Кусочно непрерывная функция ограничена на [a, b] .
Определение Функция f ( x) называется кусочно монотонной на [a, b] , если она ограничена и для некоторого разбиения T := {xk } f ( x) не убывает или не возрастает на каждом интервале ( xk −1 , xk ) .
ТЕОРЕМА (существования интеграла Римана) 1) Если f ( x) кусочно непрерывна
b
или кусочно монотонна на [a, b] , то интеграл ∫ f ( x)dx существует. 2) Если интеграл
|
|
a |
b |
|
|
∫ f ( x)dx существует, то |
f ( x) ограничена на [a, b] . |
|
a |
|
|
ТЕОРЕМА (свойства определенного интеграла) |
||
b |
b |
b |
1) α , β R ∫(α f (x) + β g (x))dx =α ∫ f (x)dx +β ∫ g ( x)dx , если хотя бы два из этих интегралов
|
a |
|
a |
|
a |
|
существуют α , β , |
αβ ≠ 0 . |
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
b |
|
2) Если x [a, b] |
g ( x) ≤ f ( x) , то ∫ g ( x)dx ≤∫ f (x)dx . 3) Если f ( x) интегрируема на [a, b] |
|||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
и m := inf |
f (x), M := sup |
f (x) , то m(b − a) ≤ |
∫ |
f (x)dx ≤ M (b − a) . |
||
|
|
|
|
|
|
|
x [ a,b] |
|
x [ a,b] |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4) (теорема о среднем) |
Если f ( x) непрерывна, а g ( x) знакопостоянна на [a, b] , то |
|||||
|
b |
|
b |
|
|
|
ξ (a, b) |
∫ f (x) g ( x)dx = f (ξ ) ∫ g( x)dx |
при условии существования интегралов. |
||||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
b |
c |
b |
|
|
|
5) c [a, b] ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx . |
|
|
|
|||
|
a |
a |
c |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Если при определении определенного интеграла разбиение отрезка [a, b] проводить убывающей последовательностью точек a =: xn < xn−1 < ... < x0 := b , то
a |
|
|
|
|
b |
|
∫ |
f ( x)dx = |
lim |
S f |
(T[b, a], E) = − lim S f (T[a, b], E) = − |
∫ |
f (x)dx . |
|
d (T )→0 |
|
d (T )→0 |
|
||
b |
|
|
|
|
a |
|
a
Это согласуется с равенством ∫ f ( x)dx = 0 .
a
_____
Кроме знания факта существования интеграла и его свойств необходим еще алгоритм вычисления определенного интеграла.
Определение Пусть f ( x) интегрируема на отрезке [a, b] . Можно оказать, что она
|
|
|
|
x |
|
|
интегрируема на каждом [a, x], x [a, b] . Функция Φ( x) := ∫ f (t)dt |
называется |
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
интегралом с переменным верхним пределом. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
ТЕОРЕМА 1) Если f ( x) непрерывна на [a, b] , то функция Φ( x) := ∫ f (t)dt |
является ее |
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
первообразной. |
|
|
|
|
|
|
2) (формула Ньютона-Лейбница) Если f ( x) |
непрерывна на [a, b] и F ( x) |
какая-либо ее |
||||
|
|
|
b |
|
|
|
первообразная, то ∫ f (t)dt = F (b) − F (a) . |
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
3) (формула замены переменной) Если f ( x) |
непрерывна на [a, b] , а функция x = ϕ (t) |
|||||
непрерывно дифференцируема на [α , β ] и t [α , β ] ϕ (t ) [a, b], |
ϕ(α ) = a, |
ϕ (β ) = b , то |
||||
b |
β |
|
′ |
|
|
|
∫ f ( x)dx =∫ f (ϕ(t)) |
|
|
|
|||
|
ϕ (t)dt . |
|
|
|
aα
4) (формула интегрирования по частям) Если функции u( x), v( x) непрерывно
b |
b |
дифференцируемы на [a, b] , то ∫u( x)v′( x)dx = u( x)v( x) |ba |
−∫u′( x)v( x)dx , где |
a |
a |
u( x)v( x) |ba := u(b)v(b) − u(a)v(a) .
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция
a a
[−a, a] , то ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx
−a |
0 |
f ( x) интегрируемая и четная (нечетная) на отрезке
a |
|
∫ |
f ( x)dx = 0 . |
−a |
|
____
ЗАМЕЧАНИЕ Если f ( x) непрерывно дифференцируема на [a, b] , то для любого разбиения T этого отрезка по формуле Лагранжа найдется последовательность точек
b |
n |
E со свойством ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = ∑F ( xk ) − F (xk −1 ) |
|
a |
k =1 |
n
=∑ f (ξk ) xk = S (T , E) , то есть
k =1
определенный интеграл совпадает с некоторой интегральной суммой функции.
|
|
|
n |
|
Определение Пусть f ( x) определена на [a, b] . Сумма вида S ( A, E) := ∑ f (xk( n) ) Ak( n) , где |
||||
|
|
|
k =1 |
|
a ≤ x( n) < ... < x( n) ≤ b, |
A := {A( n) } R, называется квадратурной формулой, числа x( n) |
- |
||
1 |
n |
k |
k |
|
узлами квадратурной формулы, а числа A( n) |
- коэффициентами. Число |
|
||
|
|
k |
|
|
b
R f ( A, E) := ∫ f ( x)dx − S ( A, E) называется остаточным членом квадратурной формулы.
a
Из многочисленных приближенных формул вычисления интеграла приведем формулу прямоугольников.
ЗАМЕЧАНИЕ Разобьем [a, b] равноотстоящими точками x := a + hk , h := |
b − a |
, k ≥ 0 , |
|
||
k |
n |
|
|
|
|
на n отрезков одинаковой длины. Если функция f ( x) имеет непрерывную |
|
производную второго порядка на [a, b] , то квадратурная формула прямоугольников
|
|
b |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk + xk −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
′ |
) |
|
h |
+ R f ( A, E) , где |
′ |
:= |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
имеет вид ∫ f ( x)dx = ∑ f (xk |
|
xk |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[a, b] R f |
( A, E ) = |
(b − a)3 |
f |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
η |
|
24n2 |
|
|
|
|
(η ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Пусть кривая l |
задана параметрическим уравнением x = x(t) , |
t [α , β ] . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
|
|
||
Фиксируем разбиение T = {tk } и выберем точки кривой M k |
:= ( x(tk ), y(tk )) l, |
k = 0,1,..., n . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как длина отрезка M |
k −1 |
M |
k |
, k = 1,..., n равна s |
|
:= |
(x(t |
k |
) − x(t |
k −1 |
))2 + ( y(t |
k |
) − y(t |
k −1 |
))2 , то |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
длина ломаной lT , составленной из этих отрезков и вписанной в l , равна s(lT ) := ∑sk .
k =1
Если существует конечный sup s(lT ) =: s(l ) , то он называется длиной кривой l , а сама
T
кривая называется спрямляемой.
Определение Кривая l называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кусков.
ТЕОРЕМА 1) (вычисление длины дуги) Если кривая l кусочно гладкая, то она
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
спрямляемая. Ее длина вычисляется по формуле s(l) = ∫ |
|
x′2 (t) + y′2 (t )dt . В случае |
|||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
задания l функцией y = f ( x), x [a, b] , |
s(l) = ∫ 1 + f ′2 (x)dx . В случае задания l в |
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
полярной системе координат: ρ = ρ (ϕ ) , |
ϕ [α , β ] , s(l) = ∫ |
|
ρ 2 (ϕ) + ρ ′2 (ϕ)dϕ . |
||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
2) (вычисление площади) Пусть дан криволинейный сектор |
|
|
|
||||||
D := {(ρ,ϕ) : ϕ [α , β ], 0 ≤ ρ ≤ ρ (ϕ)} , где функция ρ = ρ (ϕ ), ϕ [α , β ] , непрерывна. Тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
β |
||
площадь сектора существует и вычисляется по формуле |
|
s(D) = |
∫ρ 2 (ϕ)dϕ . |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) (вычисление объема) Пусть функция y = f ( x), x [a, b] |
непрерывна и |
неотрицательна. Тогда объем тела, получаемого вращением криволинейной трапеции D := {( x, y) : x [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} вокруг отрезка [a, b] оси OX , существует и
b
вычисляется по формуле v(G) := π ∫ f 2 ( x)dx .
a
4) (вычисление площади поверхности) Пусть функция y = f ( x), x [a, b], кусочно гладкая и неотрицательна. Тогда площадь боковой поверхности L тела, получаемого вращением криволинейной трапеции D := {( x, y) : x [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} вокруг отрезка
[a, b] оси OX , существует и вычисляется по формуле
b
s(L) = 2π ∫ f ( x)1 + f ′2 ( x)dx .
a
____
Определение Пусть функция f ( x) определена на [a, ∞) и интегрируема на каждом
R ∞
отрезке [a, R], R > a . Если существует конечный предел Rlim→∞ ∫ f ( x)dx =: ∫ f (x)dx , то он
a a
называется несобственным интегралом функции f ( x) на промежутке [a, ∞) . В