9. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их виды, примеры. Свойства функции, непрерывной на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке если выполняются все следующие условия:

1. Функция определена в самой точке и в некоторой её окрестности.

2. Существуют односторонние пределы и они одинаковы =

3. Односторонние пределы равны значению функции в точке

= = f(x)

Если какое-то из этих условий нарушено, то функция терпит разрыв в точке

– точка разрыва.

Классификация точек разрыва:

1. Называется точкой разрыва первого рода:

если существуют конечные числовые односторонние пределы функций в этой точке, но они не совпадают.

если существуют конечные числовые равные односторонние пределы функции f(x) в точке , но они не совпадают со значением функции в точке В этом случае разрыв называется устранимым, так как его можно искусственно устранить, доопределяя функцию соответствующим образом.

2. Называется точкой разрыва второго рода:

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (а, Ь) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Свойства функции:

1. О большем и наименьшем значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то на этом отрезке она достигает своих наибольшего (М) и наименьшего (м) значений.

2. О промежуточном значении. . Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то в интервале (a;b) найдется хотя бы 1 корень. То есть существует x = С, принадлежащее (a;b), такая, что f( c ) = 0

9. Определение производной, её геометрический и физический смысл.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в точке , принадлежащей области определения функции и её окрестностям. Дадим малое приращение ∆х и получим . Найдем приращение функции. Рассмотрим отношение . Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , называется производной функции f(x) в точке .

Физический смысл производной: если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная – есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной: Производная функции y = f(х) при х = равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

Уравнение касательной к плоской кривой: уравнение касательной – уравнение прямой, проходящей через точку ( c угловым коэффициентом k = f(.

Уравнение нормали к кривой: нормалью к данной кривой в точке называется прямая, проведенная через , перпендикулярно к кривой.

Критерий непрерывности функции в терминах приращений. Чтобы функция y = f(х) была непрерывная в точке , необходимо и достаточно выполнения условия - .

Теорема о связи непрерывности функции с наличием производной. Если функция f(x) в точке имеет производную , то функция f(x) непрерывная в точке .

Доказательство:

Производная сложной функции: пусть функция u = ϕ (x) имеет производную в точке , то есть y=f(u) имеет производную f’(, где – значение . Тогда композиция этих функций будет выглядеть так: y = .

Также справедлива формула: .

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по своему аргументу на производную внутренней функции по её аргументу.

Производная обратной функции: пусть функция y=f(x) имеет производную . И у этой функции существует непрерывная обратная функция x=g(y), которая имеет производную. Тогда g’(y) = .

Правила вычисления производной:

Пусть функция g(x) и f(x) имеют производные g’(x) и f’(x). Тогда:

1. (const)’ = 0

2. (x)’=1

3. (f+g)’ = f’ + g’

4. (f*g)’ = f’g + fg’

5. (

6. (const *f)’ = const *f’

Производные элементарных функций (выводы).

Производные неявно заданной функции.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения, не разрешенного относительно y.

F(x;y) = 0.

Для нахождения производной y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y. Достаточно это уравнение продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию х, и затем полученное уравнение разрешить относительно y’.

Пример:

y + 2x + cosy – 1 = 0

1*y’ + 2*1 – siny*y’ = 0

y’ (1-sin y) = -2

y’ =

Производная параметрически заданной функции.

Логарифмическое дифференцирование - метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.

Пусть дана функция y = f(x).

Производные высших порядков.

Производной второго порядка называется производная от её производной. y’’ = (y’)’

Производного n-го порядка от функции y=f(x) называется производная от производной порядка (n-1)

Если функция задана параметрически, то .

Теорема Ролля, её геометрический смысл.

Если функция f(x)

1. Непрерывна на

2. Имеет производную на интервале (a;b)

3. На концах принимает одинаковое значение,

то найдётся хотя бы одна точка С из этого интервала, в которой производная f’(x) обращается в 0, то есть f’(C) = 0.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши.

Если функция f(x) и g(x)

1. Непрерывна на отрезке

2. Имеет производную на интервале (a;b), причем g’(x) ≠ 0 для любых x ε (a;b),

То найдётся хотя бы одна точка C ε (a;b) такая, что выполняется равенство:

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x)

1. Непрерывна на отрезке

2. Имеет производную на интервале (a;b),

То найдётся хотя бы одна точка C ε (a;b) такая, что выполняется равенство

– приращений функции на равно приращению аргумента, умноженного на производную некоторой внутренней точки этого отрезка.

Правило Лопиталя.

Рассмотрим 2 функции f(x) и g(x) – бесконечно малые (или бесконечно большие) в точке .

Если существует предел в точке , то существует предел отношений производных ( ), то

Замечание:

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённости как основных.

Экстремум функции.

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Точки минимума и максимума функции.

Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).

если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке  , то либо  1) , либо  2) производная  не существует.

Критические точки.

Точка  называется критической точкой функции f(x) , если f(x) непрерывна в этой точке и либо , либо   не существует. В первом случае (то есть при ) точка  называется также стационарной точкой функции f(x).

Достаточные условия экстремума.

Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума.

Монотонные функции.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Критерий монотонности функции.

 Пусть функция  непрерывна на  и имеет в каждой точке производную    Тогда:

 не убывает на  тогда и только тогда, когда  для любого x ε (a;b) f’(x) ≥ 0.

F не возрастает на  тогда и только тогда, когда  для любого x ε (a;b) f’(x) ≤ 0

Выпуклость и вогнутость графика функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Точки перегиба.

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует

Достаточное условие выпуклости (вогнутости).

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x  ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x  ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Необходимое условие точки перегиба:

 если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в  точку перегиба, то .

Достаточное условие точки перегиба:

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f''(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

Асимптоты: определение, виды асимптот.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0

Наклонной асимптотой графика функции  при  или ( называется прямая , если выполнены два условия:  1) некоторый луч  или целиком содержится в D(f);  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при   или .

Формулы для нахождения уравнение асимптоты.

Общая схема исследования функции.

1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

4. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

5. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

6. На основании проведенного исследования построить график функции.