-
Кривые второго порядка.
Уравнение
второй степени относительно двух
переменных
при
разных значениях переменных описывает
4 вида линий на плоскости: окружность,
эллипс, гипербола, парабола.
-
Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Уравнение
окружности c
центром (х0; у0) и радиусом R
-
+
+
(
)*x
+ ( -
)*y + (
= 0
-
Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. F1 (-c;0) F2(c;0)
F1F2 = 2C
2a > 2C
a > C
+
= 2a
– каноническое
уравнение эллипса
а – большая полуось
b – меньшая полуось
Форма эллипса зависит от величины эксцентриситета.
Эксцентриситет
эллипса может быть выражен через
отношение большой (
)
и малой (
)
полуосей:
е = с/а, если а>b
e = c/b, если b>a
-
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
2a < 2c
a < c
+
= ± 2a
-
+
= 2a -
+
= - 2a
Рассмотрим уравнения в отдельности.
-
+
= 2a
(
= (2a
+
+
+
:4
−
↑2
+
+
(
+
- 2
:
=
=
:
,
- каноническое уравнение гиперболы с
центром (о;о), действительной полуосью
а и мнимой полуосью b.
y
= ±
– уравнение асимптот
е(эксцентриситет) гиперьболы:
е = с/а, а – действительная полуось
e = c/b, b – мнимая полуось
-
Парабола – множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы (p>0).
MN = MF
MN
=
MF
=
=
=
=
– каноническое
уравнение параболы, симметричной
относительно Ox
с вершиной в точке (0;0) и директрисой x
=
-
Числовые последовательности: определение.
Если
по некоторому закону каждому натуральному
числу n
поставлено в соответствие некоторое
число
,
то говорят, что задана числовая
последовательность
последовательность
можно рассматривать как функцию
натурального аргумента.
Определение
предела числовой последовательности:
число a
называется пределом числовой
последовательности
,
если для любого положительного числа
ε найдётся
такое натуральное число N,
что при n
> N
выполняется неравенство |
-
a|
< ε.
= a
Теорема Вейерштрасса.
Всякая, монотонно возрастающая и ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.
Предел функции в бесконечности.
Число
А называется пределом функции y=f(x)
при x->
,
если для любого положительного числа
ε существует
такое положительное число М, что для
всех |x|>M
выполняется равенство
|f(x) – A| < ε
f(x)->
A
при x->
Предел функции в точке.
Пусть
функция y=f(x)
задана в некоторой окрестности точки
.
Число
А называется пределом функции y=f(x)
при
,
если для любого ε
> 0 найдётся
такое положительное число
,
что для всех
и удовлетворяющих условию |
<
выполняется
неравенство |
.
Односторонние пределы.
Если
при
переменная x
принимает только значения
или только значение
и при этом функция f(x)
-> A,
то говорят об односторонних пределах
функции.
Операции над пределами функции.
-
Lim ( f(x)
-
-
-
-
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция
называется бесконечно малой, если её
Функция
называется бесконечно большой, если её
Раскрытие неопределённостей. Примеры.
-
– разложить на
множители числитель и знаменатель
дроби. В результате сократятся множители,
дающие 0. -
- и
числитель, и знаменатель делим на x
в наибольшей степени из присутствующих.
-
- выражение
представить в виде дроби
Первый замечательный предел.
Следствия первого замечательного предела.
=1
=1
Второй
замечательный предел.
или
в другой записи
Следствия второго замечательного предела.
-
=
e -
-
Сравнение бесконечно малых.
Если
,
то функция
Sin
x
