3. Вращательное движение твердых тел Основные формулы и законы

• Момент инерции материальной точки

где — масса точки;— расстояние до оси вращения.

• Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси

где - расстояние материальной точки массойдо оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

• Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

• Теорема Штейнера

где - момент инерции тела относительно оси, прохо­дящей через центр масс;- момент инерции относи­тельно параллельной оси, отстоящей от первой на рас­стоянии- масса тела.

• Момент силы относительно неподвижной точки

где - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точ­ку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между ли­нией действия силы и осью вращения).

• Основной закон динамики вращательного дви­жения твердого тела

где - момент сил, приложенных к телу;момент инерции тела относительно оси вращения;- угловая скорость тела.

• Уравнение (закон) динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси

где - угловое ускорение;- момент инерции тела относительно осиz.

• Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где - расстояние от осидо отдельной частицы тела;- импульс этой частицы;- момент инерции те­ла относительно оси;- его угловая скорость.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

• Работа при вращательном движении тела

где - угол поворота тела;- момент силы относи­тельно оси.

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

где - момент инерции тела относительно оси;- его угловая скорость.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где - масса тела;- скорость центра масс тела;- момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс;- угловая скорость тела.

• Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении

,

где момент инерции тела относительно оси вращения;угловая скорость тела в конечном состоянии;угловая скорость тела в начальном состоянии.

4. Механические колебания Основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний:

,

где – смещение точки от положения равновесия,А – амплитуда колебаний, – круговая (циклическая частота),t – время, – начальная фаза колебаний.

,

где – частота колебаний,– период колебаний.

• Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

,

.

• Возвращающая сила

,

,

где – коэффициент упругой (квазиупругой) силы,– масса материальной точки.

• Максимальная возвращающая сила

• Кинетическая энергия колеблющейся точки

• Потенциальная энергия колеблющейся точки

• Полная энергия при гармонических колебаниях:

.

• Периоды колебаний:

–математический маятник (– длина нити,- ускорение свободного падения),

–пружинный маятник (– масса тела,– жесткость пружины),

–физический маятник ( – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, – масса тела, – расстояние от точки подвеса до центра масс).

• Уравнение затухающих колебаний:

,

где – амплитуда колебаний в начальный момент времени,- амплитуда затухающих колебаний,-коэффициент затухания (- коэффициент сопротивления,-масса точки),- частота затухающих колебаний.

• Логарифмический декремент затухания

.

• Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления:

,

где и- амплитуды слагаемых колебаний,- разность фаз слагаемых колебаний.

• Начальная фаза результирующего колебания определяется из формулы:

.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно­ перпенди­кулярных колебаниях с одинаковыми частотами:

,

где - разность фаз складываемых колебаний.