Дифференциальные уравнения
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма.
непрерывна на
и дифференцируема на
Или 
Доказательство.
Теорема Ролля.
непрерывна на
диф. на
Доказательство
Наиб
,
наим
,
где
1)
2)
или
Теорема Лагранжа
непрерывна на
диф. на
Теорема Ролля частный случай т.Лагранжа.
Доказательство.
непрерывна на
диф. на
Теорема Каши.
непрерывна на
диф. на
непрерывна на
диф. на
Доказательство.
непрерывна на
диф. на
Теорема Лопиталя
.
,
- удовл. т.Каши
Сущ.
сущ
Доказательство
Замечание
Вместо
можно 
Теорема Лопиталя2
непрерывна на
диф. на
непрерывна на
диф. на
Сущ
сущ
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
-
Монотонность
Т1.(необходимые условия монотонности)
- непрерывна и
дифференцируема
Если
возрастает
Если
убывает
Доказательство
ч.т.д.
Т2.(достаточное условие монотонности)
непрерывна и
дифференцируема
возрастает
убывает
Доказательство.
Уравнение Бернулли.
(1)
Решение.
-
Как линейное.
-
Сводится к линейному
-
разделим на
Замена
Пример.
Уравнение
Пример.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
y (n) =f(x,y,y′,…,y(n-1)) (1) если уравнение n-го порядка, то будет n начальных условий.
y(x0)=y0
y′(x0)= y0′ (2) решения (1), удовлетворяющего усл. (2)
y (n-1) (x0)=y0(n-1) назыв. Задачей Коши
Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши)
f, fy, f′y,…, f′y(n-1) непр. в обл. D M0(x0, y0, y0′,…, y0(n-1))
=> существует единств. Решение
y=φ(x) ур-я (1) удовл-го (2)
(*) y=φ(x1,C1,...,Cn) общее решение (1), если:
1) A) – решение любое С1,..,Сn
2)
(2)
!
C1,C20,...Cn0
y= φ(C1,C20,...Cn0) - частное решение
Ф(x, y, C1,...,Cn)=0 общий интеграл
Ф(x, y, C10,...,Cn0)=0 частный интеграл
Уравнения 2-го порядка:
y˝=f(x,y,y΄) (1)
система:
y(x0)= y0
y′(x0)= y0′ (2)
только одна будет под данным углом
прямая (касательная)
Уравнение 2-го порядка допускающие понижение порядка.
I. F(x, y′, y′′)=0 - уравнение не содержащее иск. фун-ии y
y′=p(x), y′′=p′
F(x,p,p′)=0
II. F(y, y′, y′′)=0 – уравнение не содерж. произвольной переменной, у – независимая перем-ая
y′=p(y)
y′′x 2= (y′)′x=p′x=p′y *y′x=p′p
F(y,p,p′,p)=0
Например
y*y′′-(y′)²+(y′)³=0
y′=P(y); y′′=p′p
y*P′P-P²+P³=0
P(y*p′-p-p²)=0
-
p=0; y′=0; y=C
-
yP′-P-P²=0
ydp/dy=p-p²
dp/(p- p²)=dy/y
1/(p- p²)=1/p – 1/(p-1)
ln(p)-ln(p-1)=ln(y)+ln(C1)
p/(p-1)=C1y; P-PC1y= –C1y;
P=C1y/(C1y-1); C≠0
-
y′x= C1y/(C1y-1);
dy/dx= C1y/(C1y-1); ∫((C1y-1)/C1y)dy=∫dx;
y-(1/ C1)ln(y)=x+C2
P=0; p=1; y′=1; y=x+ C3; y(0)=-1; y′(0)=0; y=1
Задача о 2-ой космической скорости.
F=mM*k/r²;
-a*m=mMk/ r²
-a=Mk/ r²
v′=-kM/ r²
r ′′=-kM/ r² - уравнение 2го типа
r′=v(r)
r′′=v΄v
v΄v= -kM/ r² - уравнение с разделяющимися переменными
∫vdv= - ∫ (kM/ r²)dr
v²/2=kM/R+C
C=v²/2 - kM/R
v²/2= kM/R+(V0²/2 – kM/R) g=kM/R²
0 r
=> V0²/2 – kM/R0 ; V0² kM/R
V0=√2kM/R
kM/R=gR; V0=√2gR ; R=(40*106)/2π
V0=√2*9,81*40*106)/2π=2*10³√9,81/3,14=11,2*10³(м/с)
Уравнения цепной линии
системы
H=T cosφ; H=T cosφ;
P=T sinφ ; PS=T sinφ;
tgφ=PS/H; P/H=1/a;
y′=s/a
y˝=1/a*S΄x
y˝=(√1+(y΄)²)/a
y′=p(x); y˝=p′; dp/dx=(√1+p²)/a;
p
′=(√1+p²)/a;
p(0)=0; ∫dp/(√1+p²)=∫dx/a;
ln 
p+(√1+p²) =x/a+с с=0
P+√p²+1=ex/a
p²+1=( ex/a –p)²; 1=e 2x/a -2pe x/a
P=(e2x/a - 1)/2ex/a =(ex/a - e-x/a)/2=sh(x/a)
y′= sh(x/a); y=a*ch(x/a)+C1
y=a*ch(x/a)
Особое решение дифференциальных уравнений.
Это такое решение, в котором нарушается условие единственности.
F(x, y, y′)=0 (1)
y=φ(x) –особое решение {если, через каждую точку кривой φ(x) проходит еще одно решение и эта кривая не принадлежит общему решению}
Огибающая семейство кривых.
Ф(x,y,c)=0 (2) уравнение (2) задает параметрич. семейство, зависящее от параметра С.
Кривая ℓ называется огибающей семейства (2), если в каждой точке кривая ℓ касается одной из кривых семейства, причем в разных точках касается разных точек.
Теорема
Если семейство (2) является общим интегралом уравнения (1), то его огибающая является особым решением уравнения (1), потому что в каждой точке она удовлетворяет уравнению (1).
Док – во:
Для кривой α1 константа С имеет свое значение => для любой точки существует свое значение С.
Возьмем С не константу, а функцию от х,у
Ф=(x,y,c(x,y))=0 (*)
Ф΄x+ Ф΄y*y΄+ Ф΄c(C΄x+ C΄y* y΄)=0 (**)
Ф΄x+ Ф΄y*y΄=0
Из (2) y΄= - Ф΄x/ Ф΄y;
Ф΄c(c(x,y)) ΄x=0, т.к. на огиб. С не явл. константой => (c(x,y))΄x≠0 => Ф΄c=0
Система:
Ф(x,y,c)=0
Ф΄c(x,y,c)=0 (3) система, из которой находиться уравнение огибающей.
Замечание: (3) задает любое С дискриминантные кривые, в том числе и огибающие.
Решение дифференциальных уравнений.
y²(1+y΄²)=R²
1+y΄²= R²/ y²
y΄=±√ (R²/ y²-1); y΄=±(√ (R²- y²))/y
dy/dx=±(√ (R²- y²))/y;
ydy/(√ (R²-
y²))= - +∫dx
- +√ (R²- y²)=x+C;
R²- y²=(x+c)²
(x+c)²+ y²= R²
система
(x+c)²+ y²= R²
2(x+c)=0 (β)
y²= R²
y=±R(γ)
Задача:
Орудие стреляет под углом α к горизонту. Найти семейство траекторий и огибающую этого семейства.
V0 = нач скорость (движение поступательное)
x=
V0t*cos
α
y= V0t*sin α - gt²/2 – семейство относит. пар-ра α
t=x/ V0t*cos α
y=x tgα - gx²/2V0*1/cos²α
tg α=k; 1/cos²α=tg²α+1=k²+1;
y=kx - g/2V0²( k²+1) x²
g/2V0²=a; k=1/2ax;
парабола
система:
y=kx - a(k²+1)x²
0=x - ax²2k
y=1/2a - a(1/4a²x²+1) x²
y=1/2a - 1/4a - ax²
y=1/4a - ax²
Линейные д.у.
Теорема множество решений однородного ур-я (2) образуют линейные пространства
Д-во: L – линейное пр-во
для
элементов
,
const
(и 8 аксиом)
пусть у1,у2 – решение (2)
рассмотрим их лин. комбинацию:
Система функций
называется Л.Н., если равенство
выполняется
Л.З, если
для любых рассматриваемых ф-ций
Теорема 1 Система функций Л.З.
когда одна из них является линейной
комбинацией
всех остальных.
- линейно зависима
Д-во:
например
например
является линейной комбинацией
Следствие: если система содержит функцию
эта система Л.З.
2 вектора Л.З.
когда они колиниарны
2 функции:
Л.З.
или
,
т.е. одна функция линейно выражается через другую
Определитель Вронского
Теорема 2 пусть система ф-ций
Л.З.
их определитель Вронского
,
т.е.
Д-во:
Теорема 3 пусть
решение ур-я (2)
или
Д-во: (n=2)
решения
Определитель Вронского для системы решений удовлетворяет дифф-му ур-ю :
допустим, при значении
- Лиувиль
Теорема 4 пусть
решения ур-я (2)
система решений
- Л.Н.
Теорема 5 пусть
Л.Н. решения ур-я (2)
функция
является общим решением (2)
чтобы выписать общее решение однородного ур-я, нужно найти
n – Л.Н. частных решений
Д-во: 1)
- решение
- доказано
2) при
начальных условиях
набор констант
начальных условиях
введем начальное условие:
получим систему n – го
порядка относительно констант
система (***) имеет единственное решение
,
т.е. константы определяются единственным
образом.
Теорема 6
Л.Н. решения ур-я (2)
- решение (1)
общее решение неоднородного уравнения
(1)
( здесь
общее решение (2) )
Д-во: 1)
- решение (1)
- решение (1)
2) подставим начальные условия:
Уравнения с постоянными коэффициентами
(2.1) однородное уравнение 2го порядка
подберем
так, чтобы
было решением
1)
2)
Теорема 7 если функция
является решением однородного ур-я (2)
тоже являются решениями (2)
Д-во:
отделим действительную часть от мнимой:
из Т. следует, что в качестве решения можем брать действительную и мнимую части:
3)
есть только одно решение
подберем второе решение, чтобы
не являлось Const
многочлен n-ной степени
пусть
- корень уравнения (3) кратности m
ф-ция:
решение (2)
если n - кратный корень, то есть m Л.Н. частных решений.
Решение неоднородного уравнения.
(
1)
(2)
- общее решение (2)
Метод вариации произвольных постоянных.
- решение (1) ищем в этом виде.
Пусть
=0
->
=
f(x)
(3) -> единственное решение.
=
0
y1
y2
= W(y1,y2)
0
В общем виде:
Пусть
- общее решение
,
Тогда
- общее решение
,
где
(3)
Пример 1.
Решение.
1)
=
0;
2) y =C1(x)cos x + C2(x) sin x
y =
cos
x +
sin
x + (
cos
x + tg x sin x).
Ответ. y =
cos
x +
sin
x + (
cos
x + tg x sin x).
Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
(
1)
(2)
(
3)
I.
не
корень характеристического уравнения.
ищем в виде:
тогда
(*)
II.
или
,
k1
k2
ищем в виде:
(**)
Ш.
=k2=-p/2
ищем в виде:
(***)
2) f(x)=
(Pn(x)
cos
x
+ Qn(x)sin
x)
n- старшая из степеней.
I.
+i
=
(Un(x)
cos
x
+ Vn(x)sin
x)
II.
+i
=x*
(Un(x)
cos
x
+ Vn(x)sin
x)
Пример 2.
Решение.
1)
2)
Ответ.
.
Пример 3.
Решение.
1)
2)
Ответ.
Пример 4.
Решение.
1)
2)
Ответ.
.
Пример 5.
1)
2)
=A
cos x+ B sin x
=-A
sin x+ B cos x
=-Acos
x – B sin x
-Acos x – Bsin x – 2Asin x + 2Bcos x+5Acos x +5Bsin x = 2cos x
cos x(-A+2B+5A)=2cos x +sin x (B+2A-5B)
-A+2B+5A=2
4A+2B=2
2A+2B=1
B=1/5, A=2/5;
y = 2/5 cos x +1/5 sin x
y =
Ответ. y=
.
Пример 6.
1)
2)
=x (Acos 2x + Bsin 2x)
=(-2Asin
2x+2Bcos 2x)x + Acos 2x+ Bsin 2x
=
- 2Asin 2x + 2Bcos 2x + x(-4Acos 2x – 4Bsin 2x) + Acos 2x +Bsin 2x.
-2Asin 2x+ 2B cos 2x + Acos 2x + Bsin 2x = 0
(-2A+B)sin 2x + (2B+A)cos 2x=0.
A=0, B=1/4;
=x(1/4
sin 2x).
Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.
Ответ. Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.
Теорема 8.
решение
решение
решение
уравнения
+
Доказательство.
Проверим:
ч.т.д.
Пример 7.
Решение.
1)
2)
f1(x) = x ,
=Ax+B
f2(x) = 3
(A+ C
)`
+ 4 (Ax+B+C
)
= x + 3
C
+4Ax+4B+4C
=x
+3
C=3/5, A=1/4, B=0;
y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.
(1)
(2)
Т.1
Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.
Док.
пусть y=y1, y|=y2,…, y(n-1)=yn
Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным
;
Аналогично
(
)
решение относительно y2,…,yn
Подставим в (
)
y| = x+y+z
z| = 2x-4y-3z
y(0)=0
z(0)=0
y|| = 1+y| +z|
y|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z
z=y| -x-y
K=-1
y0 =e-x(c1+c2x)
2)
y*
Ax+B
2A+Ax+B = 5x+1
A=5
B=-9
1=c1-9 c1=10
0=-2c1+c2+14 c2=6
Линейные системы
(1)
X=(x1,…,xn)
…
A(t)= 
…
…………………………
…
(1)
(2)
Общее решение однородной системы
x1,…,xn – частные лин. Независимые решения (2)
С1,…,Сn – произвольные постоянные
О.р. (1):
X=X0+X*
X0- общее решение однородной системы
X*- частные решения (1)
y|,…,yn
– лин. Независимы =>
x|,…,xn – решение (2)
x|,…,xn
лин. независимы
W(x|,…,xn)
Линейные системы с постоянными коэффициентами
(1)
(2)
ищем решение (2) в виде
Если
и выполняется (3), то
называется собственным числом А
- собственным
вектором
(4)
1) (4) имеет n
корней
=>
,
j=1,…,n.
лин. независимые решения (2)
2) (4) имеет кратные корни.
Пусть
- корень кратности
ему соответствуют
собственные векторы
2.1) k=m
лин. независимые решения (2)
2.2) k<m
=> частное решение ищется в виде
3 4 -2
A= 1 0 1
6 -6 5
-1-
4 -2
1 -
1
6 -6 5-
(-3-
)
(
-5
+6
)
-4(5-
-6)
-2(-6+6
)=0
-(
+3)(
2
-5
+6
)
+8
+16
(
+3)(
-2)(
-3)
+8(
-2)=0
=2
2
-9 +8=0
=
1