1.2. Теоретические сведения

1.2.1. Выбор формы идентификации и регрессионный анализ

Математически задача идентификации формулируется следующим образом. Имеется nпар экспериментальных точек. Требуется построить зависимость (модель)

, (1.2)

которая описывает характеристики изучаемой системы. Уравнение (1.2) называется уравнением регрессии.

Построение модели идентификации начинается с выбора формы модели, т.е. вида зависимости (1.2). При этом на практике могут встретится два случая.

• Форма математической модели известна заранее. В этом случае задача идентификации сводится к определению коэффициентов этой модели.

• Форма математической модели заранее неизвестна. В этом случае целесообразно использовать для построения модели общее разложение функции в ряд Тейлора.

В данной лабораторной работе при идентификации ставится задача нахождение приближенной модели в виде полинома степени p

.

Согласно методу наименьших квадратов, искомый вектор находится из решения нормального уравнения

,

где

Таким образом, для определения коэффициентов уравнения регрессии необходимо произвести следующие операции:

• составить матрицу независимых переменных Вандермондаи матрицу-столбец результатов, здесьmчисло коэффициентов регрессии (m=p+1).

• найти транспонированную матрицу переменных и произвести перемножение матриц;

• найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу, т.е. получить искомую матрицу-столбец.

1.2.2. Статистический анализ модели

После вычисления коэффициентов регрессии необходимо провести статистический анализ полученной модели. Для этого необходимо вычислить следующие характеристики регрессионной зависимости:

• величину остаточной суммы квадратов отклонений фактических значений от ее теоретических значенийи число степеней свободы модели

;

• средние квадраты остаточных сумм

• критерий Фишера

здесь - дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента.

F– отношение характеризуется двумя последовательно записанными значениями степеней свободы числителя и знаменателя. При этом, так как точность статистических оценок возрастает с ростом числа степеней свободы, то число степеней свободы точной величиныпринимается равным.

Полученную величину F– отношениясравнивают с критическим (пороговым) значение критерия Фишерапри соответствующих числах степеней свободы и заданном уровне значимости. При- модель принимается. Еслирасхождение результатов моделирования и экспериментальных данныхзначимои, следовательно, модель должна быть отвергнута как недостаточно точная.

• оценку связи коэффициентов регрессии между собой .

Эта оценка проводится по ковариационной матрице

.

Диагональные элементы матрицы определяют дисперсии коэффициентов регрессии, а недиагональные – взаимосвязь этих коэффициентов.

Коэффициент корреляции может изменяться в пределах .

Для сравнения моделей необходимо:

• рассчитать дополнительную сумму квадратов

,

где - остаточная сумма квадратов первой и второй модели соответственно;

• определить число степеней свободы дополнительной суммы квадратов

;

• посчитать средний квадрат дополнительной суммы

;

• определить роль дополнительной информации с помощью критерия Фишера

.

Если полученное значение критерия Фишера значимо , то дополнительная информация, заложенная в модель 2 существенна, и модель 2 действительно отличается от модели 1. В противном случае уточнения, вносимые моделью 2, неразличимы на фоне шума; с точки зрения модели равноценны и предпочтение должно быть отдано более простой модели 1.