3. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный - это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование

Например, вычислить интеграл . Имеем

Или, вычислить интеграл . Имеем

4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на , , и непрерывна на - образе отрезка при помощи функции .

Доказательство. Пусть и - первообразные функции соответственно и . Тогда справедливо тождество

где - некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал : . В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и - непрерывно дифференцируемые на функции.

Доказательство. Произведение имеет на непрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например, найти интеграл .

Обозначим и . Тогда . Поэтому

Или, окончательно

.

Если - четная функция , то

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся: и . В результате получим:

Далее, если - нечетная функция , то

.

Если - периодическая функция периода - , то

.

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример 4. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени , то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от до будет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример 5. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

Решение. Имеем: