4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на,,инепрерывна на- образе отрезкапри помощи функции.

Доказательство. Пусть и- первообразные функции соответственнои. Тогда справедливо тождество

где - некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал:. В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и- непрерывно дифференцируемые нафункции.

Доказательство. Произведение имеет нанепрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например, найти интеграл .

Обозначим и. Тогда. Поэтому

Или, окончательно

.

Если - четная функция, то

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся:и. В результате получим:

Далее, если - нечетная функция, то

.

Если - периодическая функция периода-, то

.

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример 4. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени отдобудет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример 5. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

Решение. Имеем:

6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале задана функциятакая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале, где, но неограниченна в окрестности точки. Тогда ее интеграл на, или, что то же самое, нане может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезкеи записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от с единственной особенностью в точке, если выполняется следующее условие: есликонечная точка, то функцияинтегрируема напри любомудовлетворяющим неравенствам, и, кроме того, не ограничена в точке. Если же, то про функциюпредполагается лишь, что она интегрируема напри любом конечном.

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как

Например, найти .

Имеем .

При это выражение имеет предел. Значит.

Или, найти .

Имеем . Этот интеграл расходится.

Пример 6. Найти площадь бесконечной полосы (верзьера Аньези).

.

Далее, имеем .

Отсюда .

Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:

.

Пример 7. Найти .

Данный интеграл - несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как