6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале задана функция такая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале , где , но неограниченна в окрестности точки . Тогда ее интеграл на , или, что то же самое, на не может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезке и записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от с единственной особенностью в точке , если выполняется следующее условие: если конечная точка, то функция интегрируема на при любом удовлетворяющим неравенствам , и, кроме того, не ограничена в точке . Если же , то про функцию предполагается лишь, что она интегрируема на при любом конечном .

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как

Например, найти .

Имеем .

При это выражение имеет предел . Значит .

Или, найти .

Имеем . Этот интеграл расходится.

П ример 6. Найти площадь бесконечной полосы (верзьера Аньези).

.

Далее, имеем .

Отсюда .

Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:

.

Пример 7. Найти .

Данный интеграл - несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как

7. Вычисление площадей плоских фигур

а ) Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции).

Зададим на отрезке ( и - конечные числа) неотрицательную, непрерывную функцию , график которой изображен на рисунке.

Произведем разбиение отрезка на - частей точками

Выберем на каждом из полученных частичных отрезков ( ) по произвольной точке . Определим значения функции в этих точках и составим сумму

которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников, как показано на рисунке.

Предел, к которому стремится интегральная сумма, когда называется определенным интегралом от функции на отрезке

Е сли функция отрицательна внутри отрезка , то интеграл по абсолютному значению равен площади, покрываемой графиком, но имеет отрицательное значение (см. рис.).

П усть теперь меняет знак на интервале , как показано на рисунке.

В этом случае определенный интеграл будет подсчитываться как

Н

апример, найти площадь фигуры, ограниченной линией в пределах интервала , где , (см. рисунок). Имеем.

Это число равно разности площадей

и

б) Параметрическое задание функции.

Пусть кривая , ограничивающая исследуемую фигуру, задана параметрически: . В этом случае дифференциал будет равен: . И, следовательно, площадь фигуры будет определяться следующим выражением:

где .

Н апример, надо найти площадь эллипса. Уравнение эллипса в параметрическом виде записывается как

Действительно:

Отсюда

Тогда четвертая часть площади эллипса (в первом квадранте) будет рассчитываться как

Отсюда площадь эллипса равна .

в) Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах) дается формулой

Действительно, согласно рисунку, площадь элементарного сектора представляет собой площадь треугольника, равную половине произведения основания на высоту

Отсюда вытекает основная формула.

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой - Кардиоида

О тсюда площадь кардиоиды равна .