Тема 3. Приложение производной.

1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. Каков ее геомет­рический смысл?

2. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?

3. Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя. Приведите примеры.

4. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. В каком случае эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?

5. Напишите формулы Маклорена для функций .

6. Как используется формула Тейлора для вычисления прибли­женных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.

7. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке функций. Выведите достаточный признак возрастания функции.

10. Сформулируйте определение точки экстремума функции.

11. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.

12. Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным услови­ем наличия в этой точке экстремума функции.

13. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?

14. Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба линии, заданной уравнением ? Приведитепримеры.

15. Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты линии, заданной уравне­нием . Приведите примеры.

3. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

Тема 4. Дифференциальное исчисление фнп

1. Что называется функцией двух переменных, ее областью оп­ределения? Дайте геометрическое толкование этих понятий.

2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область опреде­ления функции трех переменных?

3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня?

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

5. Что называется точкой разрыва функции двух переменных?

6. Как определяются частные производные? Сформулируйте пра­вила нахождения частных производных функций нескольких пере­менных. Выясните геометрический смысл частных производных функ­ции двух переменных.

7. Когда функция называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функ­ции в данной точке

8. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к по­верхности в точке М_о. Выясните геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

9. Выведите формулу дифференцирования неявной функции ,заданной уравнением F(x, y)=0.

10. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производ­ных функции двух переменных.

11. Что называется производной от функции" и=и(х, у, z) в данной точке Мо по направлению вектора s? Выведите формулу для ее вычисления.

12. Что называется градиентом скалярного поля и=и(х, у, z) в данной точке? Как выражается производная по направлению че­рез градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.

13. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выведите необходимые условия и сформулируйте до­статочные условия экстремума функции двух переменных.

14. Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции двух переменных.

15. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьше­го значений функции двух переменных в замкнутой области.

16. Что называется условным экстремумом функции z=f(x, г/)? Изложите метод нахождения условных экстремумов функция двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.

17. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?